coeficientul lui Poisson este o cantitate adimensională, caracteristică fiecărui material. Este o indicație a deformării unei bucăți de material înainte de aplicarea anumitor forțe.
Când o bucată de material care este supusă unei tensiuni sau unei comprimări suferă o deformare, coeficientul dintre deformarea transversală și deformarea longitudinală este tocmai raportul Poisson.
De exemplu, un cilindru de cauciuc care este stresat la capetele sale se întinde în direcția longitudinală, dar se îngustează transversal. Figura 1 prezintă o bară ale cărei dimensiuni originale sunt: lungimea L și diametrul D.
Bara este supusă unei tensiuni T la capetele sale și, ca urmare a acestei tensiuni, suferă o întindere, astfel încât noua lungime este L '> L. Dar, atunci când este întinsă, diametrul său se restrânge și la noua valoare: D' < D.
Coeficientul dintre întindere (pozitiv) și îngustare (negativ) înmulțit cu (-1), este un număr pozitiv între 0 și 0,5. Acest număr este așa-numitul raport al lui Poisson ν (litera greacă nu).
Indice articol
Pentru a calcula raportul Poisson este necesar să se determine deformarea longitudinală și transversală.
Tensiunea longitudinală εL este întinderea împărțită la lungimea inițială:
εL = (L '- L) / L
În mod similar, deformarea transversală εT este conica radială împărțită la diametrul original:
εT = (D '- D) / D
Prin urmare, raportul Poisson este calculat folosind următoarea formulă:
ν = - εT / εL
Raportul lui Poisson ν, este legat de modul ȘI elasticitatea (sau modulul lui Young) și cu modulul de rigiditate G, folosind următoarea formulă:
ν = E / (2G) - 1
O bară dintr-un anumit material plastic are o lungime de 150 mm și o secțiune circulară de 20 mm în diametru. Când este supus unei forțe de compresie F de 612,25 kg-f, se observă o scurtare de 14 mm și simultan o creștere de 0,85 mm în diametrul barei.
Calculati:
a) Tensiunea longitudinală.
b) Tensiunea transversală.
c) Raportul lui Poisson cu acel material.
d) Modulul de elasticitate al lui Young corespunzător materialului.
e) Modulul de rigiditate pentru plasticul respectiv.
Reamintim că deformarea longitudinală εL este întinderea împărțită la lungimea inițială:
εL = (L '- L) / L
εL = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933
Rețineți că deformarea longitudinală este adimensională și, în acest caz, a fost negativă, deoarece a existat o scădere a dimensiunii longitudinale a acesteia.
În mod similar, deformarea transversală εT este conica radială, împărțită la diametrul original:
εT = (D '- D) / D
εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425
Tensiunea transversală a fost pozitivă, deoarece a avut loc o creștere a diametrului barei.
Pentru calcularea raportului lui Poisson trebuie să ne amintim că acesta este definit ca negativul coeficientului dintre deformarea transversală și deformarea longitudinală:
ν = - εT / εL
ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554
Trebuie amintit faptul că raportul Poisson este un număr adimensional pozitiv și pentru majoritatea materialelor este între 0 și 0,5.
Modulul de elasticitate al lui Young, notat cu litera E, este constanta proporționalității în legea lui Hooke. Prin E, tensiunea normală σL este legată de tulpina εL, după cum urmează:
σL = E εL
Stresul normal este definit ca coeficientul dintre forța normală (în acest caz paralelă cu axa barei) și aria secțiunii transversale:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
În acest exercițiu, forța F este de 612,25 kg-f, care trebuie convertită în newtoni, care este unitatea SI de forță:
F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN
La rândul său, secțiunea transversală a zonei A este:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2
În cele din urmă, stresul normal aplicat barei este:
σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa
Pentru a calcula modulul de elasticitate al lui Young, rezolvăm pentru E din legea lui Hooke σL = E εL:
E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0,0933 = 204,7 MPa
Modulul de rigiditate G este legat de modulul lui Young E și de raportul lui Poisson ν prin această formulă:
E / (2 G) = 1 + ν
De acolo puteți rezolva pentru G:
G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa
Există un cablu de cupru cu un diametru de 4 mm și 1 m lungime. Știind că modulul de cupru al lui Young este de 110.000 MPa și că raportul lui Poisson este de 0,34, estimează întinderea și îngustarea în diametru pe care o suferă firul atunci când este agățată o greutate de 100 kg-f..
În primul rând, este necesar să se calculeze tensiunea normală pe care greutatea o exercită asupra firului, urmând această formulă:
σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)
Forța F este de 980 N și aria secțiunii transversale este:
A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2
Atunci tensiunea de tracțiune este:
σL = 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77.986.000 Pa
Modulul de elasticitate al lui Young, notat cu litera E, este constanta proporționalității în legea lui Hooke care leagă tensiunea normală σL de tensiunea εL:
σL = E εL
De acolo se poate rezolva tensiunea longitudinală a firului de cupru:
εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4
Pe de altă parte, pentru a cunoaște tulpina transversală, se aplică raportul Poisson:
ν = - εT / εL
În cele din urmă, considerăm că tulpina transversală este:
εT = -ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4
În cele din urmă, pentru a cunoaște întinderea absolută a cablului, trebuie aplicată următoarea relație:
ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm
Adică, cu acea greutate, cablul abia se întindea 0,709 milimetri.
Pentru a obține contracția absolută în diametru folosim următoarea formulă:
ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 milimetri.
Această îngustare în diametru este atât de mică încât este dificil de văzut cu ochiul liber, chiar și măsurarea acesteia necesită un instrument de înaltă precizie..
Nimeni nu a comentat acest articol încă.