Diferența formule de cuburi, ecuații, exemple, exerciții

diferența de cuburi este o expresie algebrică binomială a formei a³ - b³, unde termenii a și b pot fi numere reale sau expresii algebrice de diferite tipuri. Un exemplu de diferență de cuburi este: 8 - x³, deoarece 8 poate fi scris ca 2³.

Geometric ne putem gândi la un cub mare, cu latura a, din care se scade cubul mic cu latura b, așa cum este ilustrat în figura 1:

Volumul figurii rezultate este exact o diferență de cuburi:

V = a³ - b³

Pentru a găsi o expresie alternativă, se observă că această figură poate fi descompusă în trei prisme, așa cum se arată mai jos:

O prismă are un volum dat de produsul din cele trei dimensiuni ale sale: lățime x înălțime x adâncime. În acest fel, volumul rezultat este:

V = a³ - b³ = a^Două.b + b³ + a.b^Două

Factorul b este comun la dreapta. În plus, în figura prezentată mai sus, este deosebit de adevărat că:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Prin urmare se poate spune că: b = a - b. Prin urmare:

la³ - b³ = b (a^Două + b^Două +a.b) = (a-b) (a^Două + a.b + b^Două)

Acest mod de exprimare a diferenței de cuburi se va dovedi foarte util în multe aplicații și ar fi fost obținut în același mod, chiar dacă partea cubului lipsă din colț era diferită de b = a / 2.

Rețineți că a doua parantezăseamănă mult cu produsul remarcabil al pătratului sumei, dar termenul încrucișat nu se înmulțește cu 2. Cititorul poate dezvolta partea dreaptă pentru a verifica dacă se obține efectiv la³ - b³.

Indice articol

• 1 Exemple
  • 1.1 Factorizarea unei diferențe de cuburi
• 2 Exercițiul a fost rezolvat
  • 2.1 Exercițiul 1
  • 2.2 Exercițiul 2
• 3 Referințe

Exemple

Există mai multe diferențe de cuburi:

1 - m⁶

la⁶b³ - 8z¹²Da⁶

(1/125) .x⁶ - 27 și⁹

Să analizăm fiecare dintre ele. În primul exemplu, 1 poate fi scris ca 1 = 1³ iar termenul m⁶ rămâne: (m^Două)³. Ambii termeni sunt cuburi perfecte, prin urmare diferența lor este:

1 - m⁶ = 1³ - (m^Două)³

În al doilea exemplu, termenii sunt rescriși:

la⁶b³ = (a^Douăb)³

8z¹²Da⁶ = 2³ (z⁴)³ (Y^Două)³ = (2z⁴Da^Două)³

Diferența acestor cuburi este: (a^Douăb)³ - (2z⁴Da^Două)³.

În cele din urmă, fracția (1/125) este (1/5³), X⁶ = (x^Două)³, 27 = 3³ si si⁹ = (și³)³. Înlocuind toate acestea în expresia originală, veți obține:

(1/125) .x⁶  - 27y⁹ = [(1/5) (x^Două)]]³ - (3 ani³)³

Factorizarea unei diferențe de cuburi

Factorizarea diferenței de cuburi simplifică multe operații algebrice. Pentru a face acest lucru, este suficient să utilizați formula dedusă mai sus:

Acum, procedura de aplicare a acestei formule constă din trei pași:

- În primul rând, se obține rădăcina cubică a fiecăruia dintre termenii diferenței.

- Apoi sunt construite binomul și trinomul care apar în partea dreaptă a formulei.

- În cele din urmă binomul și trinomul sunt substituite pentru a obține factorizarea definitivă.

Să ilustrăm utilizarea acestor pași cu fiecare dintre exemplele de diferență de cub propuse mai sus și astfel să obținem echivalentul său factorizat.

Exemplul 1

Factorizați expresia 1 - m⁶   urmând pașii conturați. Începem prin rescrierea expresiei ca 1 - m⁶ = 1³ - (m^Două)³ pentru a extrage rădăcinile cubice respective ale fiecărui termen:

Apoi, binomul și trinomul sunt construite:

a = 1

b = m^Două

Atunci:

a - b = 1 - m^Două

 (la^Două +a.b + b^Două) = 1^Două + 1.m^Două + (m^Două)^Două = 1 + m^Două + m⁴

 În cele din urmă, este înlocuit în formula a³ - b³ = (a-b) (a^Două +a.b + b^Două):

1 - m⁶ = (1 - m^Două) (1 + m^Două + m⁴)

Exemplul 2

Factorizează:

la⁶b³ -8z¹²Da⁶ = (a^Douăb)³ - (2z⁴Da^Două)³

Deoarece acestea sunt cuburi perfecte, rădăcinile cubului sunt imediate: a^Douăb și 2z⁴Da^Două, de aici rezultă că:

- Binom: a^Douăb - 2z⁴Da^Două

- Trinomial: (a^Douăb)^Două + la^Douăb. 2z⁴Da^Două + (la^Douăb + 2z⁴Da^Două)^Două

 Și acum se construiește factorizarea dorită:

la⁶b³ -8z¹²Da⁶ = (a^Douăb - 2z⁴Da^Două). [(la^Douăb)^Două + la^Douăb. 2z⁴Da^Două + (la^Douăb + 2z⁴Da^Două)^Două] =

= (a^Douăb - 2z⁴Da^Două). [la⁴b^Două + Al 2-lea^Douăb.z⁴Da^Două + (la^Douăb + 2z⁴Da^Două)^Două]

În principiu, factorizarea este gata, dar este adesea necesară simplificarea fiecărui termen. Apoi dezvoltăm produsul remarcabil - pătratul unei sume - care apare la final și apoi adăugăm termeni asemănători. Amintindu-ne că pătratul unei sume este:

(x + y)^Două = x^Două + 2xy + și^Două

Produsul notabil din dreapta este dezvoltat astfel:

(la^Douăb + 2z⁴Da^Două)^Două = a⁴b^Două + Al 4-lea^Douăb.z⁴Da^Două + 4z⁸Da⁴

 Înlocuind expansiunea obținută în factorizarea diferenței de cuburi:

la⁶b³ -8z¹²Da⁶ = (a^Douăb - 2z⁴Da^Două). [la⁴b^Două + Al 2-lea^Douăb.z⁴Da^Două + la⁴b^Două + Al 4-lea^Douăb.z⁴Da^Două + 4z⁸Da⁴] =

În cele din urmă, grupând termeni precum și luând în considerare coeficienții numerici, care sunt toți uniformi, obținem:

(la^Douăb - 2z⁴Da^Două). [2a⁴b^Două + Al 6-lea^Douăb.z⁴Da^Două + 4z⁸Da⁴] = 2 (a^Douăb - 2z⁴Da^Două). [la⁴b^Două + A treia^Douăb.z⁴Da^Două + 2z⁸Da⁴]

Exemplul 3

Factor (1/125) .x⁶  - 27y⁹ este mult mai simplu decât cazul anterior. Mai întâi se identifică echivalenții lui a și b:

a = (1/5) x^Două

b = 3y³

Apoi, acestea sunt direct substituite în formula:

(1/125) .x⁶  - 27y⁹ = [(1/5) x^Două - 3y³]. [(1/25) x⁴ + (3/5) x^DouăDa³ + 9y⁶]

Exercițiul a fost rezolvat

Diferența de cuburi are, așa cum am spus, o varietate de aplicații în Algebră. Să vedem câteva:

Exercitiul 1

Rezolvați următoarele ecuații:

a) x⁵ - 125 x^Două = 0

b) 64 - 729 x³ = 0

Solutie la

Mai întâi ecuația este luată în considerare în acest fel:

X^Două (X³ - 125) = 0

Deoarece 125 este un cub perfect, parantezele sunt scrise ca o diferență de cuburi:

X^Două . (X³ - 5³) = 0

Prima soluție este x = 0, dar găsim mai multe dacă facem x³ - 5³ = 0, apoi:

X³ = 5³ → x = 5

Soluția b

Partea stângă a ecuației este rescrisă ca 64 - 729 x³ = 4³ - (9x)³. Prin urmare:

4³ - (9x)³ = 0

Deoarece exponentul este același:

9x = 4 → x = 9/4

Exercițiul 2

Factorizați expresia:

(x + y)³ - (X y)³

Soluţie

Această expresie este o diferență de cuburi, dacă în formula de factoring observăm că:

a = x + y

b = x- y

Apoi binomul este construit mai întâi:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Și acum trinomul:

la^Două + a.b + b^Două = (x + y)^Două + (x + y) (x-y) + (x-y)^Două

Se dezvoltă produse notabile:

(x + y)^Două = x^Două + 2xy + și^Două

(x + y) (x-y) = x^Două- Da^Două

(X y)^Două = x^Două - 2xy + și^Două

Apoi trebuie să înlocuiți și să reduceți termenii similari:

la^Două + a.b + b^Două = x^Două + 2xy + și^Două+ X^Două- Da^Două+ X^Două - 2xy + și^Două = 3x^Două + Da^Două

Factorizarea are ca rezultat:

(x + y)³ - (X y)³ = 2y. (3x^Două + Da^Două)

Referințe

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
2. Fundația CK-12. Suma și diferența de cuburi. Recuperat de pe: ck12.org.
3. Academia Khan. Factorizarea diferențelor de cuburi. Recuperat de pe: es.khanacademy.org.
4. Matematica este distractivă avansată. Diferența de două cuburi. Recuperat de pe: mathsisfun.com
5. UNAM. Factorizarea unei diferențe de cuburi. Recuperat de la: dcb.fi-c.unam.mx.