Legile exponenților (cu exemple și exerciții rezolvate)

legile exponenților sunt cele care se aplică acelui număr care indică de câte ori un număr de bază trebuie înmulțit cu el însuși. Exponenții sunt cunoscuți și sub numele de puteri. Împuternicirea este o operație matematică formată dintr-o bază (a), exponentul (m) și puterea (b), care este rezultatul operației.

Exponenții sunt folosiți, în general, atunci când se utilizează cantități foarte mari, deoarece acestea nu sunt altceva decât abrevieri care reprezintă multiplicarea aceluiași număr de o anumită cantitate de ori. Exponenții pot fi atât pozitivi, cât și negativi.

Indice articol

• 1 Explicația legilor exponenților
  • 1.1 Prima lege: puterea exponentului egală cu 1
  • 1.2 A doua lege: puterea exponentului egală cu 0
  • 1.3 A treia lege: exponent negativ
  • 1.4 Legea a patra: multiplicarea puterilor cu bază egală
  • 1.5 Legea a cincea: împărțirea puterilor cu bază egală
  • 1.6 A șasea lege: multiplicarea puterilor cu baze diferite
  • 1.7 A șaptea lege: împărțirea puterilor cu o bază diferită
  • 1.8 Legea a opta: puterea unei puteri
  • 1.9 Legea a noua: exponent fracționat
• 2 exerciții rezolvate
  • 2.1 Exercițiul 1
  • 2.2 Exercițiul 2
• 3 Referințe

Explicația legilor exponenților

După cum sa menționat mai sus, exponenții sunt o formă de prescurtare care reprezintă înmulțirea numerelor singure de mai multe ori, în care exponentul se referă doar la numărul din stânga. De exemplu:

Două³ = 2 * 2 * 2 = 8

În acest caz, numărul 2 este baza puterii, care va fi înmulțită de 3 ori așa cum este indicat de exponent, situată în colțul din dreapta sus al bazei. Există diferite moduri de a citi expresia: 2 ridicate la 3 sau 2 ridicate la cub.

Exponenții indică, de asemenea, de câte ori pot fi împărțiți, iar pentru a diferenția această operațiune de înmulțire exponentul are semnul minus (-) în față (este negativ), ceea ce înseamnă că exponentul este în numitorul unui fracțiune. De exemplu:

Două^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Acest lucru nu trebuie confundat cu cazul în care baza este negativă, deoarece va depinde dacă exponentul este impar sau chiar pentru a determina dacă puterea va fi pozitivă sau negativă. Deci trebuie să:

- Dacă exponentul este egal, puterea va fi pozitivă. De exemplu:

(-7)^Două = -7 _* -7 = 49.

- Dacă exponentul este impar, puterea va fi negativă. De exemplu:

(-Două)⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Există un caz special în care dacă exponentul este egal cu 0, puterea este egală cu 1. Există, de asemenea, posibilitatea ca baza să fie 0; în acest caz, în funcție de exponent, puterea va fi nedeterminată sau nu.

Pentru a efectua operații matematice cu exponenți este necesar să se respecte mai multe reguli sau norme care să faciliteze găsirea soluției acestor operații.

Prima lege: puterea exponentului egală cu 1

Când exponentul este 1, rezultatul va fi aceeași valoare a bazei: a¹ = a.

Exemple

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

A doua lege: puterea exponentului egală cu 0

Când exponentul este 0, dacă baza este diferită de zero, rezultatul va fi: a⁰ = 1.

Exemple

1⁰ = 1.

323⁰= 1.

1095⁰ = 1.

A treia lege: exponent negativ

Deoarece exponatul este negativ, rezultatul va fi o fracțiune, unde puterea va fi numitorul. De exemplu, dacă m este pozitiv, atunci a^-m = 1 / a^m.

Exemple

- 3^-1 = 1/3.

- 6^-Două = 1/6^Două = 1/36.

- 8^-3 = 1/8³ = 1/512.

Legea a patra: multiplicarea puterilor cu bază egală

Pentru a multiplica puteri în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza rămâne și se adaugă exponenții: a^m _* laⁿ = a^{m + n}.    

Exemple

- 4⁴ _* 4³ = 4^{4 + 3} = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8^{1 + 4} = 8⁵

- Două^Două _* Două⁹ = 2^{2 + 9} = 2^unsprezece

A cincea lege: împărțirea puterilor cu bază egală

Pentru a împărți puterile în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este păstrată și exponenții se scad după cum urmează: a^m / laⁿ = a^m-n.    

Exemple

- 9^Două / 9¹ = 9 ^{(douăzeci și unu)} = 9¹.

- 6^{cincisprezece} / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

A șasea lege: multiplicarea puterilor cu baze diferite

În această lege există opusul a ceea ce este exprimat în a patra; adică, dacă aveți baze diferite, dar cu aceiași exponenți, bazele se înmulțesc și exponentul este menținut: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Exemple

- 10^Două _* douăzeci^Două = (10 _* douăzeci)^Două = 200^Două.

- Patru cinci^unsprezece _* 9^unsprezece = (45 * 9)^{11 =} 405^unsprezece.

O altă modalitate de a reprezenta această lege este atunci când o multiplicare este ridicată la o putere. Astfel, exponentul va aparține fiecăruia dintre termenii: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Exemple

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

A șaptea lege: împărțirea puterilor cu o bază diferită

Dacă aveți baze diferite, dar cu aceiași exponenți, împărțiți bazele și păstrați exponentul: a^m / b^m = (a / b)^m.

Exemple

- 30³ / Două³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

În mod similar, atunci când o diviziune este ridicată la o putere, exponentul va aparține fiecăruia dintre termenii: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Exemple

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)^Două = 25^Două / 5^Două = 5^Două.

Există cazul în care exponentul este negativ. Apoi, pentru a fi pozitiv, valoarea numărătorului este inversată cu cea a numitorului, după cum urmează:

- (a / b)^-n = (b / a)ⁿ = bⁿ / laⁿ.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

A opta lege: puterea unei puteri

Când aveți o putere crescută la o altă putere - adică doi exponenți în același timp-, baza este menținută și exponenții sunt înmulțiți: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Exemple

- (8³)^Două = 8 ^{(3 * 2)} = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

A noua lege: exponent fracționat

Dacă puterea are o fracție ca exponent, aceasta se rezolvă transformând-o într-o a n-a rădăcină, unde numeratorul rămâne ca exponent și numitorul reprezintă indicele rădăcinii:

Exemplu

Exerciții rezolvate

Exercitiul 1

Calculați operațiunile dintre puterile care au baze diferite:

Două⁴ _* 4⁴ / 8^Două.

Soluţie

Aplicând regulile exponenților, bazele se înmulțesc în numărător și exponentul este menținut, astfel:

Două⁴ _* 4⁴ / 8^Două= (2_*4)⁴ / 8^Două  = 8⁴ / 8^Două

Acum, deoarece avem aceleași baze, dar cu exponenți diferiți, baza este păstrată și exponenții sunt scăși:

 8⁴ / 8^Două = 8^{(4 - 2)} = 8^Două

Exercițiul 2

Calculați operațiunile dintre puterile ridicate la o altă putere:

(3^Două)³ _* (Două _* 6⁵)^-Două _* (Două^Două)³

Soluţie

Aplicând legile, trebuie să:

(3^Două)³ _* (Două _* 6⁵)^-Două _* (Două^Două)³

= 3⁶ _* Două^-Două _* Două^-10 _* Două⁶

= 3⁶ _* Două^{(-2) + (- 10)} _* Două⁶

= 3⁶ _*  Două^-12 _* Două⁶

= 3⁶ _* Două^{(-12) + (6)}

= 3⁶ _* Două⁶

= (3_*Două)⁶

= 6⁶

= 46.656

Referințe

1. Aponte, G. (1998). Fundamentele de bază ale matematicii. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematica aplicată vieții de zi cu zi.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematica 1 SEP.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebră și trigonometrie.
5. Rees, P. K. (1986). Reveniți.