Numărul lui Euler sau numărul e este o constantă matematică bine cunoscută care apare frecvent în numeroase aplicații științifice și economice, împreună cu numărul π și alte numere importante din matematică.
Un calculator științific returnează următoarea valoare pentru numărul e:
e = 2.718281828 ...
Dar se cunosc multe alte zecimale, de exemplu:
e = 2.71828182845904523536 ...
Iar computerele moderne au găsit miliarde de zecimale pentru numărul e.
Este un număr iraţional, ceea ce înseamnă că are un număr infinit de zecimale fără niciun tipar care se repetă (secvența 1828 apare de două ori la început și nu se mai repetă).
Și înseamnă, de asemenea, că numărul e nu poate fi obținut ca coeficientul a două numere întregi.
Indice articol
Numarul și Acesta a fost identificat de omul de știință Jacques Bernoulli în 1683 când studia problema interesului compus, dar anterior apăruse indirect în lucrările matematicianului scoțian John Napier, care a inventat logaritmi în jurul anului 1618.
Cu toate acestea, în 1727, Leonhard Euler i-a dat numele e și a studiat intens proprietățile sale. De aceea este, de asemenea, cunoscut sub numele de Numărul Euler și, de asemenea, ca bază naturală pentru logaritmii naturali (un exponent) utilizați în prezent.
Numărul e merită:
e = 2.71828182845904523536 ...
Elipsa înseamnă că există un număr infinit de zecimale și, de fapt, cu computerele actuale, milioane dintre ele sunt cunoscute.
Există mai multe moduri de a defini e pe care le descriem mai jos:
Unul dintre diferitele moduri în care este exprimat numărul e este cel pe care omul de știință Bernoulli l-a găsit în lucrările sale privind interesul compus:
În care trebuie să faci valoarea n un număr foarte mare.
Este ușor de verificat, cu ajutorul unui calculator, că atunci când n este foarte mare, expresia anterioară tinde spre valoarea lui și dat mai sus.
Sigur ne putem întreba cât de mare poate deveni n, deci să încercăm numere rotunde, ca acestea de exemplu:
n = 1000; 10.000 sau 100.000
În primul caz obținem e = 2.7169239…. În al doilea e = 2.7181459 ... și în al treilea este mult mai aproape de valoarea lui și: 2.7182682. Ne putem da seama deja că, cu n = 1.000.000 sau mai mare, aproximarea va fi și mai bună.
În limbajul matematic, procedura de realizare n se apropie din ce în ce mai aproape de o valoare foarte mare, se numește limita la infinit și se notează astfel:
Pentru a indica infinitul, se folosește simbolul „∞”.
De asemenea, este posibil să se definească numărul e prin această operație:
Cifrele care apar în numitor: 1, 2, 6, 24, 120 ... corespund operației n!, Unde:
n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) ...
Și prin definiție 0! = 1.
Este ușor să verificați dacă cu cât sunt adăugate mai multe adunări, cu atât se atinge numărul mai precis și.
Să facem câteva teste cu calculatorul, adăugând din ce în ce mai multe suplimente:
1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667
1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806
Cu cât se adaugă mai mulți termeni la suma, cu atât rezultatul arată mai mult și.
Matematicienii au venit cu o notație compactă pentru aceste sume care implică mulți termeni, folosind simbolul însumării Σ:
Această expresie este citită astfel "suma de la n = 0 la infinitul de 1 între n factorial".
Numărul e are o reprezentare grafică legată de aria de sub graficul curbei:
y = 1 / x
Când valorile lui x sunt cuprinse între 1 și e, această zonă este egală cu 1, așa cum se ilustrează în figura următoare:
Unele dintre proprietățile numărului e sunt:
-Este irațional, cu alte cuvinte, nu poate fi obținut pur și simplu prin împărțirea a două numere întregi.
-Numarul și este, de asemenea, un număr transcendent, Ce înseamnă asta și nu este o soluție a oricărei ecuații polinomiale.
-Este legat de alte patru numere celebre din domeniul matematicii și anume: π, i, 1 și 0, prin identitatea Euler:
șiπi + 1 = 0
-Apelurile numere complexe poate fi exprimat prin e.
-Formează baza logaritmilor naturali sau naturali de astăzi (definiția originală a lui John Napier diferă oarecum).
-Este singurul număr astfel încât logaritmul său natural este egal cu 1, adică:
ln e = 1
Numărul e apare foarte frecvent în domeniul probabilității și statisticii, apărând în diferite distribuții, cum ar fi normal sau gaussian, Poisson și altele..
În inginerie este comună, deoarece funcția exponențială y = eX este prezent în mecanică și electromagnetism, de exemplu. Printre numeroasele aplicații putem menționa:
-Un cablu sau lanț care atârnă ținut de capete, adoptă forma curbei dată de:
y = (eX + și-X) /Două
-Un condensator C descărcat inițial, care este conectat în serie la un rezistor R și la o sursă de tensiune V de încărcat, capătă o anumită sarcină Q în funcție de timpul t dat de:
Q (t) = CV (1-e-t / RC)
Funcția exponențială y = A.eBx, cu constantele A și B, este folosit pentru modelarea creșterii celulare și a creșterii bacteriene.
În fizica nucleară, decăderea radioactivă și determinarea vârstei sunt modelate prin datarea cu radiocarbon.
În calculul dobânzii compuse, numărul e apare în mod natural.
Să presupunem că aveți o anumită sumă de bani Psau, să-l investească la o rată a dobânzii de i% pe an.
Dacă lăsați banii timp de 1 an, după acest timp veți avea:
P (1 an) = Psau + Psau.i = Psau (1+ i)
După încă un an fără să-l atingeți, veți avea:
P (2 ani) = Psau + Psau.i + (Psau + Psau .i) i = Psau +2 Psau.i + Psau.euDouă = Po (1 + i)Două
Și continuând în acest fel prin n ani:
P = Psau (1 + i)n
Acum să ne amintim una dintre definițiile lui e:
Seamănă puțin cu expresia pentru P, deci trebuie să existe o relație.
Vom distribui rata nominală a dobânzii eu pe n perioade de timp, în acest fel rata dobânzii compuse va fi i / n:
P = Psau [1+ (i / n)]n
Această expresie seamănă mai mult cu limita noastră, dar încă nu este exact aceeași.
Cu toate acestea, după unele manipulări algebrice, se poate demonstra că, făcând această schimbare de variabilă:
h = n / i → i = n / h
Banii noștri P devin:
P = Psau [1+ (1 / h)]Salut = Psau [1+ (1 / h)]heu
Și ce este între taste, chiar dacă este scris cu litera h, este egal cu argumentul limitei care definește numărul e, lipsind doar luând limita.
Hai sa facem h → ∞, iar ceea ce se află între acoladele devine numărul și. Acest lucru nu înseamnă că trebuie să așteptăm un timp infinit pentru a ne retrage banii.
Dacă ne uităm atent, atunci când facem h = n / i și tindând la ∞, ceea ce am făcut de fapt este să distribuim rata dobânzii în perioade de timp foarte, foarte mici:
i = n / h
Aceasta se numește compunerea continuă. Într-un astfel de caz, suma de bani este ușor calculată astfel:
P = Psau .șieu
Unde i este rata anuală a dobânzii. De exemplu, atunci când depuneți 12 EUR la 9% pe an, prin capitalizare continuă, după un an aveți:
P = 12 x e0,09 × 1 € = 13,13 €
Cu un câștig de 1,13 €.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.