Două puncte A și A 'au simetrie centrală în raport cu un punct O când segmentul AA 'trece prin el și este, de asemenea, punctul de mijloc al lui AA'. Punctul O se numește centru de simetrie.
Simetricul central al unui triunghi ABC în raport cu un punct O, este un alt triunghi A'B'C 'care are următoarele caracteristici:
-Segmentele omoloage sunt de lungime egală
-Unghiurile lor corespunzătoare au aceeași măsură.
În figura 1 puteți vedea un triunghi ABC (roșu) și simetria sa centrală A'B'C '(verde), în raport cu centrul de simetrie O.
În aceeași figură, un observator atent ar realiza că același rezultat se obține aplicând o rotație a triunghiului original, atâta timp cât acesta este de 180 ° și este centrat în O.
Prin urmare, o simetrie centrală este echivalentă cu o rotație de 180 ° față de centrul de simetrie.
Indice articol
O simetrie centrală are următoarele proprietăți:
-Centrul de simetrie este punctul de mijloc al segmentului care unește un punct cu simetria sa.
-Un punct simetric al altuia care este situat în centrul de simetrie, coincide cu centrul de simetrie.
-Simetricul central al unui triunghi este un triunghi congruent (egal) cu originalul.
-Imaginea prin simetrie centrală a unui cerc este un alt cerc cu rază egală.
-Un cerc are o simetrie centrală față de propriul centru.
-Elipsa are o simetrie centrală în jurul centrului său.
-Un segment are o simetrie centrală în jurul punctului său mediu.
-Triunghiul echilateral nu are simetrie centrală față de centrul său, deoarece simetria sa, deși este congruentă cu primul, dă un triunghi echilateral rotit.
-Pătratele au simetrie centrală în jurul centrului lor.
-Un pentagon nu are simetrie centrală în jurul centrului său.
-Poligoanele regulate au simetrie centrală atunci când au un număr par de laturi.
Criteriile de simetrie au multe aplicații în știință și inginerie. Simetria centrală este prezentă în natură, de exemplu, cristalele de gheață și pânzele de păianjen au acest tip de simetrie.
Mai mult, multe probleme sunt ușor de rezolvat atunci când se profită de existența simetriei centrale și a altor tipuri de simetrie. Prin urmare, este convenabil să identificați rapid când apare.
Având în vedere un punct P de coordonate (a, b), trebuie să găsim coordonatele P 'simetrice ale acestuia cu privire la originea O a coordonatelor (0, 0).
Primul lucru este să construim punctul P ', pentru care se trasează o linie care trece prin originea O și prin punctul P. Ecuația liniei menționate este y = (b / a) x.
Acum să numim (a ', b') coordonatele punctului simetric P '. Punctul P 'trebuie să se afle pe linia care trece prin O și, prin urmare, este adevărat: b' = (b / a) a '. În plus, distanța OP trebuie să fie egală cu OP ', care în formă analitică este scrisă astfel:
√ (laDouă + bDouă) = √ (a 'Două + b 'Două )
Următorul este să înlocuiască b '= [(b / a) .a'] în expresia de mai sus și pătrate ambele părți ale egalității pentru a elimina rădăcina pătrată: (aDouă + bDouă) = [a 'Două + (bDouă/laDouă).la'Două]
Prin extragerea factorului comun și simplificarea, obținem că un 'Două = aDouă. Această ecuație are două soluții reale: a '= + a sau a' = -a.
Pentru a obține b ', folosim din nou b' = (b / a) a '. Dacă soluția pozitivă a a 'este substituită, ajungem la acel b' = b. Și când soluția negativă este substituită, atunci b '= -b.
Soluția pozitivă dă pentru P 'același punct P, deci este aruncat. Soluția negativă dă cu siguranță coordonatele punctului simetric:
P ': (-a, -b)
Este necesar să se arate că un segment AB și simetricul său central A'B 'au aceeași lungime.
Începând cu coordonatele punctului A, care sunt (Ax, Ay) și cele ale punctului B: (Bx, By), lungimea segmentului AB este dată de:
d (AB) = √ ((Bx - Ax)Două + (De - Da)Două )
Prin analogie, segmentul simetric A'B 'va avea lungimea dată de:
d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ')Două + (De „- Da”)Două )
Coordonatele punctului simetric A 'sunt Ax' = -Ax și Ay '= -Ay. În mod similar, cele ale lui B 'sunt Bx' = -Bx și By '= -By. Dacă aceste coordonate sunt substituite în ecuația distanței d (A'B ') avem:
d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax)Două + (-Prin + Ay)Două) care este echivalent cu:
√ ((Bx - Ax)Două + (De - Da)Două) = d (AB)
Arătându-se astfel că ambele segmente au aceeași lungime.
Arătați analitic că O simetric central al unui cerc de rază R și centru O este același cerc original.
Ecuația unui cerc cu raza R și centrul O (0,0) este:
XDouă + DaDouă = RDouă (Ecuația circumferinței C)
Dacă în fiecare punct P al circumferinței y de coordonate (x, y) se găsește P 'simetric al coordonatelor (x', y '), ecuația circumferinței simetrice este:
X 'Două + Y 'Două = RDouă (Ecuația cercului simetric C ')
Acum ne referim la rezultatul exemplului 1, în care se concluzionează că coordonatele unui punct P ', simetrice cu P și cu coordonatele (a, b), sunt (-a, -b).
Dar în acest exercițiu, punctul P are coordonate (x, y), astfel încât P 'simetric va avea coordonatele x' = -x și y '= -y. Înlocuind acest lucru în ecuația cercului simetric avem:
(-X)Două + (-A)Două = RDouă
Care este echivalent cu: xDouă+ DaDouă = RDouă, concluzionând că simetria centrală a unui cerc față de centrul său este circumferința însăși.
Arată geometric că simetria centrală păstrează unghiurile.
Există trei puncte A, B și C în plan. Simetricele sale A ', B' și C 'sunt construite în raport cu centrul de simetrie O, așa cum se arată în figura 4.
Acum trebuie să arătăm că unghiul ∡ABC = β are aceeași măsură ca unghiul ∡A'B'C '= β'.
Deoarece C și C 'sunt simetrice, atunci OC = OC'. În mod similar OB = OB 'și OA = OA'. Pe de altă parte, unghiul ∡BOC = ∡B'OC 'deoarece acestea sunt opuse de vârf.
Atunci triunghiurile BOC și B'OC 'sunt congruente deoarece au un unghi egal între două laturi egale.
Deoarece BOC este congruent cu B'OC 'atunci unghiurile γ Da γ ' Sunt egali. Dar aceste unghiuri, pe lângă îndeplinirea γ = γ ' sunt alternative interne între liniile BC și B'C 'ceea ce implică faptul că linia BC este paralelă cu B'C'.
În mod similar, BOA este congruent cu B'OA 'din care rezultă că α = α ' . Dar α Da α ' sunt unghiuri interioare alternative între liniile BA și B'A ', din care se concluzionează că linia BA este paralelă cu B'A'.
Deoarece unghiul ∡ABC = β are laturile sale paralele cu unghiul ∡A'B'C '= β' și, de asemenea, ambele sunt acute, se concluzionează că:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
Dovedind în acest fel, că simetria centrală conservă măsura unghiurilor.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.