axiome ale probabilitate sunt propoziții matematice referitoare la teoria probabilității, care nu merită dovezi. Axiomele au fost stabilite în 1933 de matematicianul rus Andrei Kolmogorov (1903-1987) în opera sa Fundamentele teoriei probabilității și a pus bazele studiului matematic al probabilității.
La efectuarea unui anumit experiment aleatoriu ξ, spațiul eșantion E este ansamblul tuturor rezultatelor posibile ale experimentului, numit și evenimente. Orice eveniment este notat ca A și P (A) este probabilitatea apariției acestuia. Apoi Kolmogorov a stabilit că:
-Axioma 1 (nu negativitate): probabilitatea apariției oricărui eveniment A este întotdeauna pozitivă sau zero, P (A) ≥0. Când probabilitatea unui eveniment este 0, se numește eveniment imposibil.
-Axioma 2 (certitudine): ori de câte ori un eveniment care aparține lui E, probabilitatea sa de apariție este 1, pe care îl putem exprima ca P (E) = 1. Este ceea ce este cunoscut sub numele de eveniment sigur, din moment ce atunci când se efectuează un experiment, cu toată certitudinea există un rezultat.
-Axioma 3 (adăugare): în cazul a două sau mai multe evenimente incompatibile două câte două, numite A1, LADouă, LA3…, Probabilitatea ca evenimentul A să apară1 plus ADouă plus A3 și așa mai departe, este suma probabilităților ca fiecare să se întâmple separat.
Aceasta se exprimă ca: P (A1 U ADouă U A3 U ...) = P (A1) + P (ADouă) + P (A3) + ...
Indice articol
Axiomele probabilității sunt utilizate pe scară largă într-o multitudine de aplicații. De exemplu:
O cremă sau o tachetă este aruncată în aer, iar când cade pe podea există opțiunea de a ateriza cu punctul în sus (U) sau cu punctul în jos (D) (nu vom lua în considerare alte posibilități). Spațiul eșantion al acestui experiment constă din aceste evenimente, apoi E = U, D.
Prin aplicarea axiomelor avem:
P (E) = 1 (Axioma 2)
Dar P (E) = P (U) + P (D) (Axioma 3), deoarece aceste evenimente sunt incompatibile reciproc sau sunt disjuncte. Piciorușul nu cade cu vârful în sus sau în jos în același timp, este unul sau altul, dar nu ambele, deoarece alte posibilități nu sunt luate în considerare. Atunci:
P (U) + P (D) = 1
P (U) = 1 - P (D)
Indiferent dacă este la fel de probabil să aterizați în vârf sau în jos, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). Cu toate acestea, este posibil ca construcția și designul marcajului să cadă într-un fel sau altul. De exemplu, se poate P (U) = ¾ in timp ce P (D) = ¼ (Axioma 1).
Rețineți că, în ambele cazuri, suma probabilităților dă 1. Cu toate acestea, axiomele nu indică modul de atribuire a probabilităților, cel puțin nu complet. Dar afirmă că sunt numere între 0 și 1 și că, ca în acest caz, suma tuturor este 1.
Axiomele probabilității nu sunt o metodă de atribuire a valorii probabilității. Pentru aceasta există trei opțiuni care sunt compatibile cu axiomele:
Fiecărui eveniment i se atribuie aceeași probabilitate de a se întâmpla, apoi probabilitatea de apariție este definită ca:
P (A) = numărul de cazuri favorabil evenimentului A / numărul de cazuri posibile
De exemplu, care este probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de cărți franceze? Pachetul are 52 de cărți, 13 din fiecare costum și există 4 costume. Fiecare costum are 1 ași, deci în total sunt 4 ași:
P (ca) = 4/52 = 1/13
Regula lui Laplace este limitată la spații eșantion finite, unde fiecare eveniment este la fel de probabil.
Aici experimentul trebuie să fie repetabil, deoarece metoda se bazează pe efectuarea unui număr mare de repetări..
Să facem i repetări ale experimentului ξ, dintre care găsim că n este de câte ori apare un anumit eveniment A, atunci probabilitatea ca acest eveniment să apară este:
P (A) = limi → ∞ (nici)
Unde n / i este frecvența relativă a unui eveniment.
Definirea lui P (A) în acest mod satisface axiomele lui Kolmogorov, dar are dezavantajul că trebuie efectuate multe teste pentru ca probabilitatea să fie adecvată.
O persoană sau un grup de oameni pot fi de acord să atribuie probabilitatea unui eveniment, prin propria judecată. Această metodă are dezavantajul că diferite persoane pot atribui probabilități diferite aceluiași eveniment..
În experimentul aruncării simultane a 3 monede oneste, obțineți probabilitățile evenimentelor descrise:
a) 2 capete și o coadă.
b) 1 cap și două cozi
c) 3 cruci.
d) Cel puțin 1 față.
Capetele sunt notate cu C, iar cozile cu X. Dar există mai multe modalități de a obține două capete și o coadă. De exemplu, primele două monede pot ateriza capete și a treia pot ateriza cozi. Sau primul poate cădea capete, al doilea coadă și al treilea cap. Și, în sfârșit, primul poate fi cozile și capetele rămase.
Pentru a răspunde la întrebări este necesar să cunoașteți toate posibilitățile, care sunt descrise într-un instrument numit diagramă de copac sau arborele probabilităților:
Probabilitatea ca orice monedă să iasă la capete este ½, același lucru este valabil și pentru cozi, deoarece moneda este cinstită. În coloana din dreapta sunt enumerate toate posibilitățile pe care le are aruncarea, adică spațiul de probă.
Din spațiul eșantion, se aleg combinațiile care răspund la evenimentul solicitat, deoarece ordinea în care apar fețele nu este importantă. Există trei evenimente favorabile: CCX, CXC și XCC. Probabilitatea ca fiecare eveniment să se întâmple este:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
La fel se întâmplă și pentru evenimentele CXC și XCC, fiecare având o probabilitate de 1/8 să se întâmple. Prin urmare, probabilitatea de a obține exact 2 capete este suma probabilităților tuturor evenimentelor favorabile:
P (2-fețe) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375
Găsirea probabilității că apar exact două încrucișări este o problemă analogă celei anterioare, există și trei evenimente favorabile luate din spațiul eșantion: CXX, XCX și XXC. Prin urmare:
P (2 cruci) = 3/8 = 0,375
Intuitiv știm că probabilitatea de a obține 3 cozi (sau 3 capete) este mai mică. În acest caz, evenimentul căutat este XXX, la sfârșitul coloanei din dreapta, a cărui probabilitate este:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.
Se solicită obținerea a cel puțin 1 față, aceasta înseamnă că pot ieși 3 fețe, 2 fețe sau 1 față. Singurul eveniment incompatibil cu acesta este cel în care ies 3 cozi, a căror probabilitate este de 0,125. Prin urmare, probabilitatea căutată este:
P (cel puțin 1 cap) = 1 - 0,125 = 0,875.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.