Conjugați binomul cum să-l rezolvați, exemple, exerciții

A binom conjugat dintr-un alt binom este unul în care acestea se diferențiază doar printr-un semn al operației. Binomul, după cum sugerează și numele său, este o structură algebrică formată din doi termeni.

Câteva exemple de binomii sunt: (a + b), (3m - n) Da (5x - y). Și binomii lor conjugați sunt: ​​(a - b), (-3m - n) și (5x + y). După cum se poate vedea imediat, diferența constă în semn.

Un binom înmulțit cu conjugatul său are ca rezultat un produs remarcabil care este utilizat pe scară largă în algebră și știință. Rezultatul înmulțirii este scăderea pătratelor termenilor binomului original.

De exemplu, (X y) este un binom și conjugatul său este (x + y). Deci, produsul celor două binomii este diferența dintre pătratele termenilor:

(x - y). (x + y) = x^Două - Da^Două

Indice articol

• 1 Cum se rezolvă un binom conjugat?
• 2 Exemple
  • 2.1 - Binomii conjugați ai diferitelor expresii
• 3 Exerciții
  • 3.1 - Exercițiul 1
  • 3.2 - Exercițiul 2
  • 3.3 - Exercițiul 3
  • 3.4 - Exercițiul 4
  • 3.5 - Exercițiul 5
• 4 Referințe

Cum se rezolvă un binom conjugat?

Regula menționată pentru binomii conjugați este următoarea: 

Produsul a doi binomi conjugați este egal cu pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea termen. Acest rezultat se numește diferența de pătrate.

Ca exemplu de aplicare, vom începe prin a demonstra rezultatul anterior, care se poate face folosind proprietatea distributivă a produsului în raport cu suma algebrică.

(x - y) (x + y) = x.x + x.y - y.x - y.y

Înmulțirea de mai sus a fost obținută urmând acești pași:

- Primul termen al primului binom se înmulțește cu primul termen al celui de-al doilea

- Apoi primul din primul, până în al doilea din al doilea

- Apoi al doilea din primul cu primul din al doilea 

- În cele din urmă, al doilea din primul cu al doilea din al doilea.

Acum să facem o mică modificare folosind proprietatea comutativă: y.x = x.y. Arată așa:

(x - y) (x + y) = x.x + x.y - x.y - y.y

Deoarece există doi termeni egali, dar cu semn opus (evidențiat în culoare și subliniat), aceștia se anulează și se simplifică:

(x - y) (x + y) = x.x - y.y

În cele din urmă, se aplică faptul că înmulțirea unui număr în sine este echivalentă cu creșterea lui la pătrat, deci x.x = x^Două Si deasemenea y.y = y^Două.

În acest fel, se demonstrează ceea ce a fost subliniat în secțiunea anterioară, că produsul unei sume și diferența acesteia este diferența pătratelor:

(x - y). (x + y) = x^Două - Da^Două

Exemple

- Binomii conjugați ai diferitelor expresii

Exemplul 1

Găsiți conjugatul lui (și^Două - 3y).

Răspuns: (Y^Două + 3y)

Exemplul 2

Obțineți produsul (și^Două - 3y) prin conjugatul său.

Răspuns: (Y^Două - 3y) (și^Două + 3y) = (y^Două)^Două - (3 ani)^Două = și⁴ - 3^Două Da^Două = și⁴ - 9y^Două

Exemplul 3

Dezvoltați produsul (1 + 2a). (2a -1).

Răspuns: Expresia anterioară este echivalentă cu (2a + 1). (2a -1), adică corespunde produsului unui binom și conjugatului său.

Se știe că produsul unui binom prin binomul său conjugat este egal cu diferența pătratelor termenilor binomului:

(2a + 1) (2a -1) = (2a)^Două - 1^Două = 4 a^Două - 1

Exemplul 4

Scrieți produsul (x + y + z) (x - y - z) ca diferență de pătrate.

Răspuns: putem asimila trinomiile anterioare cu forma de binomuri conjugate, folosind cu atenție parantezele și parantezele pătrate:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)] [x - (y + z)]

În acest fel se poate aplica diferența de pătrate:

(x + y + z) (x - y - z) = [x + (y + z)]. [x - (y + z)] = x^Două - (y + z)^Două

Exemplul 5

Exprimați produsul (m^Două - m -1). (m^Două + m -1) ca diferență de pătrate.

Răspuns: expresia anterioară este produsul a două trinomii. Mai întâi trebuie rescris ca produsul a doi binomi conjugați:

(m^Două - m -1) (m^Două + m -1) = (m^Două - 1 - m) (m^Două -1 + m) = [(m^Două -1) - m]. [(M^Două -1) + m)]

Aplicăm faptul că produsul unui binom prin conjugat este diferența pătratică a termenilor săi, așa cum sa explicat:

[(m^Două -1) - m]. [(M^Două -1) + m)] = (m^Două -1)^Două - m^Două

Instruire

Ca întotdeauna, începeți cu cele mai simple exerciții și apoi creșteți nivelul de complexitate..

- Exercitiul 1

Tastați (9 - a^Două) ca produs.

Soluţie

În primul rând, rescriem expresia ca o diferență de pătrate, pentru a aplica ceea ce a fost explicat anterior. Prin urmare:

(9 - a^Două) = (3^Două - la^Două)

Apoi luăm în calcul factorul, care este echivalent cu scrierea acestei diferențe de pătrate ca produs, așa cum se solicită în declarație:

(9 - a^Două) = (3^Două - la^Două) = (3 + a) (3 -a)

- Exercițiul 2

Factorizează 16x^Două - 9y⁴.

Soluţie

Factorizarea unei expresii înseamnă scrierea ei ca produs. În acest caz, este necesar să rescrieți anterior expresia, pentru a obține o diferență de pătrate.

Nu este dificil să faceți acest lucru, deoarece căutând cu atenție, toți factorii sunt pătrate perfecte. De exemplu 16 este pătratul lui 4, 9 este pătratul lui 3, Da⁴ este pătratul lui Da^Două Da X^Două este pătratul lui X:

16x^Două - 9y⁴  = 4^DouăX^Două - 3^DouăDa⁴ = 4^DouăX^Două  - 3^Două(Y^Două)^Două

Apoi aplicăm ceea ce știm deja anterior: că o diferență de pătrate este produsul binomilor conjugați:

(4x)^Două - (3 și^Două)^Două = (4x - 3 ani^Două). (4x + 3 și^Două)

- Exercițiul 3

Scrieți (a - b) ca produs al binomilor

Soluţie

Diferența de mai sus trebuie scrisă ca diferențe de pătrate

(√a)^Două -(√b)^Două

Apoi se aplică faptul că diferența de pătrate este produsul binomilor conjugați

(√a - √b) (√a + √b)

- Exercițiul 4

Una dintre utilizările binomului conjugat este raționalizarea expresiilor algebrice. Această procedură constă în eliminarea rădăcinilor numitorului unei expresii fracționate, ceea ce în multe cazuri facilitează operațiile. Se solicită utilizarea binomului conjugat pentru a raționaliza următoarea expresie:

√ (2-x) / [√3 - √ (2 + x)]

Soluţie

Primul lucru este să identificăm binomul conjugat al numitorului: [√3 + √ (2 + x)].

Acum înmulțim numărătorul și numitorul expresiei originale cu binomul conjugat:

√ (2-x) [√3 + √ (2 + x)] / [√3 - √ (2 + x)]. [√3 + √ (2 + x)]

În numitorul expresiei anterioare recunoaștem produsul unei diferențe cu o sumă, care deja știm că corespunde diferenței pătratelor binomilor:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (√3)^Două - [√ (2 + x)]^Două 

Simplificarea numitorului este:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / [3 - (2 + x)] = √ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x)

Acum avem de-a face cu numeratorul, pentru care vom aplica proprietatea distributivă a produsului în raport cu suma:

√ (2-x). [√3 + √ (2 + x)] / (1 - x) = √ (6-3x) + √ [(2-x) (2 + x)] / (1 - x )

În expresia anterioară recunoaștem produsul binomului (2-x) prin conjugat, care este produsul notabil egal cu diferența de pătrate. În acest fel, se obține în cele din urmă o expresie raționalizată și simplificată:

[√ (6-3x) + √ (4-x^Două)] / (1 - x)

- Exercițiul 5

Dezvoltați următorul produs, utilizând proprietățile binomului conjugat:

[2a^{(x + 3y)} - A treia^{(x - 3y)}]. [2a^{(x + 3y)} + A treia^{(x - 3y)}]

Soluţie

Al 4-lea^{(2x + 6y)} - 9a^{(2x - 6y)} = 4a^(2x) .la^{(6 ani)} - 9a^(2x) .la^(-6y)= [4a^{(6 ani)} - 9a^(-6y)] .la^(2x)

Cititorul atent va observa factorul comun care a fost evidențiat în culori.

Referințe

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana S.A.
2. González J. Exerciții binomiale conjugate. Recuperat de pe: academia.edu.
3. Profesorul de matematică Alex. Produse remarcabile. Recuperat de pe youtube.com.
4. Math2me. Binomi conjugați / produse notabile. Recuperat de pe youtube.com.
5. Produse binomiale conjugate. Recuperat de la: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Binomii conjugați. Recuperat de pe: youtube.com.