A spatiu vectorial este un set ne-gol V= sau, v, w,..., ale căror elemente sunt vectori. Unele operațiuni importante sunt efectuate cu acestea, printre care se evidențiază următoarele:
- Suma dintre doi vectori u + v care rezultă z, care aparține mulțimii V.
- Înmulțirea unui număr real α cu un vector v: α v ce dă un alt vector Da care aparține V.
Pentru a indica un vector folosim bold (v este un vector), iar pentru scalare sau numere litere grecești (α este un număr).
Indice articol
Pentru a se da un spațiu vectorial, trebuie îndeplinite următoarele opt axiome:
1-Comutabil: sau +v = v +sau
2-tranzitivitate: (sau + v) + w = sau + ( v + w)
3-Existența vectorului nul 0 astfel încât 0 + v = v
4-Existența opusului: opusul lui v este (-v) , la fel de v + (-v) = 0
5-Distributivitatea produsului în raport cu suma vectorială: α ( sau + v ) = αsau +αv
6-Distributivitatea produsului în raport cu suma scalară: (α + β)v = αv +βv
7-Asociativitatea produsului scalar: α (β v) = (α β)v
8-Numărul 1 este elementul neutru deoarece: 1v = v
Vectorii din planul (R²) sunt un exemplu de spațiu vectorial. Un vector în plan este un obiect geometric care are atât magnitudine cât și direcție. Este reprezentat de un segment orientat care aparține planului menționat și cu o dimensiune proporțională cu magnitudinea acestuia.
Suma a doi vectori în plan poate fi definită ca operațiunea de translație geometrică a celui de-al doilea vector după primul. Rezultatul sumei este segmentul orientat care începe de la originea primului și ajunge la vârful celui de-al doilea.
În figură se poate observa că suma în R² este comutativă.
De asemenea, este definit produsul unui număr α și al unui vector. Dacă numărul este pozitiv, direcția vectorului original este păstrată, iar dimensiunea este de α ori mai mare decât vectorul original. Dacă numărul este negativ, direcția este opusă, iar dimensiunea vectorului rezultat este valoarea absolută a numărului.
Vectorul opus oricărui vector v este -v = (- 1) v.
Vectorul nul este un punct în planul R², iar numărul zero de ori un vector rezultă în vectorul nul.
Tot ce se spune este ilustrat în figura 2.
A stabilit P dintre toate polinoamele de grad mai mic sau egal cu două, inclusiv gradul zero, formează un set care satisface toate axiomele unui spațiu vectorial.
Fie polinomul P (x) = a x² + b x + c și Q (x) = d x² + e x + f
Suma a două polinoame este definită: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) x + (c + f)
Suma polinoamelor aparținând mulțimii P este comutativ și tranzitiv.
Polinomul nul aparținând mulțimii P este cel care are toți coeficienții egali cu zero:
0 (x) = 0 x² + 0 x + 0
Suma unui α scalar de către un polinom este definită ca: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ b x + α ∙ c
Polinomul opus al lui P (x) este -P (x) = (-1) P (x).
Din toate cele de mai sus rezultă că setul P dintre toate polinoamele cu grad mai mic sau egal cu doi, este un spațiu vectorial.
A stabilit M dintre toate matricile de m rânduri x n coloane ale căror elemente sunt numere reale formează un spațiu vectorial real, cu privire la operațiile de adunare a matricilor și produsul unui număr de o matrice.
Mulțimea F a funcțiilor continue ale variabilei reale formează un spațiu vectorial, deoarece este posibil să se definească suma a două funcții, înmulțirea unui scalar cu o funcție, funcția nulă și funcția simetrică. De asemenea, îndeplinesc axiomele care caracterizează un spațiu vectorial.
Baza unui spațiu vectorial este definită ca un set de vectori liniar independenți astfel încât dintr-o combinație liniară a acestora poate fi generat orice vector al acelui spațiu vectorial.
Combinarea liniară a doi sau mai mulți vectori constă în înmulțirea vectorilor cu niște scalari și apoi adăugarea lor vectorială.
De exemplu, în spațiul vectorial al vectorilor în trei dimensiuni formate din R³, se utilizează baza canonică definită de vectorii unitari (de magnitudine 1) eu, j, k.
Unde eu = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Acestea sunt vectorii cartezieni sau canonici.
Orice vector V apartenența la R³ este scrisă ca V = a eu + b j + c k, care este o combinație liniară a vectorilor de bază eu, j, k. Scalarii sau numerele a, b, c sunt cunoscute sub numele de componente carteziene ale V.
Se mai spune că vectorii de bază ai unui spațiu vectorial formează un set generator al spațiului vectorial.
Dimensiunea unui spațiu vector este numărul cardinal al unei baze vectoriale pentru acel spațiu; adică numărul de vectori care alcătuiesc baza menționată.
Acest cardinal este numărul maxim de vectori liniar independenți ai acelui spațiu vectorial și, în același timp, numărul minim de vectori care formează un set generator de spațiu respectiv.
Bazele unui spațiu vectorial nu sunt unice, dar toate bazele aceluiași spațiu vectorial au aceeași dimensiune.
Un subspațiu vectorial S al unui spațiu vectorial V este un subset al lui V în care aceleași operații sunt definite ca în V și îndeplinesc toate axiomele spațiului vectorial. Prin urmare, subspatiul S va fi si un spatiu vectorial.
Un exemplu de subspațiu vectorial sunt vectorii care aparțin planului XY. Acest subspatiu este un subset al unui spatiu vectorial de dimensionalitate mai mare decat setul de vectori apartinand spatiului tridimensional XYZ.
Un alt exemplu de subspatiu vectorial S1 al spatiului vectorial S format din toate matricile 2 × 2 cu elemente reale este definit mai jos:
Pe de altă parte, S2 definit mai jos, deși este un subset al lui S, nu formează un subspatiu vectorial:
Să fie vectorii V1= (1, 1, 0); V2= (0, 2, 1) și V3= (0, 0, 3) în R³.
a) Arătați că sunt liniar independenți.
b) Arătați că formează o bază în R³, deoarece orice triplu (x, y, z) poate fi scris ca o combinație liniară de V1, V2, V3.
c) Găsiți componentele triplului V = (-3,5,4) la bază V1, V2, V3.
Criteriul pentru a demonstra independența liniară constă în stabilirea următorului set de ecuații în α, β și γ
α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)
În cazul în care singura soluție a acestui sistem este α = β = γ = 0 atunci vectorii sunt liniar independenți, altfel nu sunt.
Pentru a obține valorile lui α, β și γ propunem următorul sistem de ecuații:
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0
Primul duce la α = 0, al doilea α = -2 ∙ β dar din moment ce α = 0 atunci β = 0. A treia ecuație implică faptul că γ = (- 1/3) β, dar din moment ce β = 0 atunci γ = 0.
Se concluzionează că este un set de vectori liniar independenți în R³ .
Acum să scriem triplul (x, y, z) ca o combinație liniară de V1, V2, V3.
(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)
α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x
α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y
α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z
Unde aveți:
α = x
α + 2 β = y
β + 3 γ = z
Primul indică α = x, al doilea β = (y-x) / 2 și al treilea γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. În acest fel, am găsit generatorii de α, β și γ ai oricărui triplet de R³
Să trecem mai departe pentru a găsi componentele triplului V = (-3,5,4) la bază V1, V2, V3.
Înlocuim generatoarele din valorile corespunzătoare din expresiile găsite mai sus.
În acest caz avem: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0
Acesta este:
(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)
De ultimul:
V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3
Concluzionăm că V1, V2, V3 formează o bază în spațiul vectorial R³ al dimensiunii 3.
Exprimați polinomul P (t) = t² + 4t -3 ca o combinație liniară de P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t și P3 (t) = t + 3.
P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)
unde trebuie determinate numerele x, y, z.
Înmulțirea și gruparea termenilor cu același grad în t oferă:
t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)
Ceea ce ne conduce la următorul sistem de ecuații:
x + 2y = 1
-2x -3y + z = 4
5x + 3z = -3
Soluțiile acestui sistem de ecuații sunt:
x = -3, y = 2, z = 4.
Acesta este:
P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)
Arată că vectorii v1= (1, 0, -1, 2); v2= (1, 1, 0, 1) și v3= (2, 1, -1, 1) din R⁴ sunt liniar independenți.
Combinăm liniar cei trei vectori v1, v2, v3 și cerem ca combinația să adauge elementul nul al lui R⁴
la v1 + b v2 + c v3 = 0
Și anume,
a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)
Acest lucru ne conduce la următorul sistem de ecuații:
a + b + 2 c = 0
b + c = 0
-a - c = 0
2 a + b + c = 0
Scăzând primul și al patrulea avem: -a + c = 0 ceea ce implică a = c.
Dar dacă ne uităm la a treia ecuație, avem că a = -c. Singurul mod în care a = c = (- c) este că c este 0 și, prin urmare, a va fi și 0.
a = c = 0
Dacă substituim acest rezultat în prima ecuație, atunci concluzionăm că b = 0.
În cele din urmă a = b = c = 0, astfel încât se poate concluziona că vectorii v1, v2 și v3 sunt liniar independenți.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.