speranță matematică sau valoarea așteptată a variabilă aleatorie X, este notat ca E (X) și este definit ca suma produsului dintre probabilitatea apariției unui eveniment aleatoriu și valoarea respectivului eveniment.
În formă matematică se exprimă după cum urmează:
μ = E (X) = ∑ xeu. P (xeu) = x1.P (x1) + xDouă.P (xDouă) + x3.P (x3) + ...
Unde xeu este valoarea evenimentului și P (xeu) probabilitatea sa de apariție. Suma se extinde pe toate valorile pe care le admite X. Și dacă acestea sunt finite, suma indicată converge la valoarea E (X), dar dacă suma nu converge, atunci variabila pur și simplu nu are o valoare așteptată.
Când vine vorba de o variabilă continuă X, variabila poate avea valori infinite, iar integralele înlocuiesc sumările:
Aici f (x) reprezintă funcția densității probabilității.
În general, așteptarea matematică (care este o medie ponderată) nu este egală cu media aritmetică sau media, cu excepția cazului în care avem de-a face cu distribuții discrete în care fiecare eveniment este la fel de probabil. Apoi și numai atunci:
μ = E (X) = (1 / n) ∑ xeu
Unde n este numărul de valori posibile.
Conceptul este foarte util pe piețele financiare și companiile de asigurări, unde certitudinea lipsește adesea, dar există probabilități..
Indice articol
Printre cele mai importante proprietăți ale așteptării matematice, se evidențiază următoarele:
- Semn: dacă X este pozitiv, atunci E (X) va fi și el.
- Valoarea așteptată a unei constante: valoarea așteptată a unei constante reale k este constanta.
E (k) = k
- Liniaritatea în sumă: așteptarea unei variabile aleatorii care este la rândul ei suma a două variabile X și Y este suma așteptărilor.
E (X + Y) = E (X) + E (Y)
- Înmulțirea cu o constantă: dacă variabila aleatorie este de formă kX, Unde k este o constantă (un număr real), iese în afara valorii așteptate.
E (kX) = k E (X)
- Valoarea preconizată a produsului și independența între variabile: dacă o variabilă aleatorie este produsul variabilelor aleatoare X și Y, care sunt independente, atunci valoarea așteptată a produsului este produsul valorilor așteptate.
E (X.Y) = E (X) .E (Y)
- Variabilă aleatorie a formularului Y = aX + b: găsit prin aplicarea proprietăților anterioare.
E (aX + b) = aE (X) + E (b) = aE (X) + b
În general, da Y = g (X):
E (Y) = E [g (X)] = ∑ g (xeu). P [g (xeu)]]
- Comandă pentru valoarea așteptată: dacă X ≤ Y, atunci:
E (X) ≤ E (Y)
Deoarece există valorile așteptate ale fiecăruia dintre ele.
Când celebrul astronom Christian Huygens (1629-1695) nu observa cerul, s-a dedicat studierii, printre alte discipline, a probabilității în jocurile de noroc. El a introdus conceptul speranței matematice în lucrarea sa din 1656 intitulată: Raționament despre jocuri de noroc.
Huygens a constatat că pariurile ar putea fi clasificate în trei moduri, pe baza valorii așteptate:
-Jocuri avantajoase: E (X)> 0
-Pariuri corecte: E (X) = 0
-Joc cu handicap: E (X) < 0
Problema este că într-un joc de noroc așteptările matematice nu sunt întotdeauna ușor de calculat. Și când poți, rezultatul este uneori dezamăgitor pentru cei care se întreabă dacă să parieze sau nu.
Să încercăm un pariu simplu: capete sau cozi și învinsul plătește o cafea de 1 USD. Care este valoarea așteptată a acestui pariu?
Ei bine, probabilitatea ca un cap să fie rulat este ½, egal cu o coadă. Variabila aleatorie este să câștigi 1 $ sau să pierzi 1 $, câștigul este notat cu semnul + și pierderea cu semnul -.
Organizăm informațiile într-un tabel:
Înmulțim valorile coloanelor: 1. ½ = ½ și (-1). ½ = -½ și în final rezultatele sunt adăugate. Suma este 0 și este un joc corect, în care participanții nu sunt așteptați nici să câștige, nici să piardă.
Ruleta franceză și loteria sunt jocuri cu handicap în care majoritatea pariorilor pierd. Mai târziu, există un pariu puțin mai complex în secțiunea de exerciții rezolvate.
Iată câteva exemple simple în care conceptul de așteptare matematică este intuitiv și clarifică conceptul:
Vom începe prin a arunca o moară sinceră. Care este valoarea așteptată a lansării? Ei bine, dacă matrița este onestă și are 6 capete, probabilitatea ca orice valoare (X = 1, 2, 3 ... 6) să se rostogolească este 1/6, astfel:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5
Valoarea așteptată în acest caz este egală cu media, deoarece fiecare față are aceeași probabilitate de ieșire. Dar E (X) nu este o valoare posibilă, deoarece niciun cap nu valorează 3,5. Acest lucru este perfect posibil în unele distribuții, deși în acest caz rezultatul nu ajută mult pariorul..
Să vedem un alt exemplu cu aruncarea a două monede.
Două monede cinstite sunt aruncate în aer și definim variabila aleatorie X ca numărul de capete care sunt rulate. Evenimentele care pot apărea sunt următoarele:
-Nu apar capete: 0 capete care este egal cu 2 cozi.
-Returnează 1 cap și 1 cozi sau cozi.
-Ies 2 fețe.
Fie C un cap și T un sigiliu, spațiul de probă care descrie aceste evenimente este după cum urmează:
Sm = Sigiliu-Sigiliu; Seal-Face; Face-Seal; Face-Face = TT, TC, CT, CC
Probabilitățile evenimentelor sunt:
P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½
P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼
Tabelul este construit cu valorile obținute:
Conform definiției date la început, așteptarea matematică este calculată ca:
μ = E (X) = ∑ xeu. P (xeu) = x1.P (x1) + xDouă.P (xDouă) + x3.P (x3) + ...
Înlocuirea valorilor:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
Acest rezultat este interpretat după cum urmează: dacă o persoană are suficient timp pentru a face un număr mare de experimente prin răsturnarea celor două monede, se așteaptă să primească un cap pe fiecare flip..
Cu toate acestea, știm că lansările cu 2 etichete sunt perfect posibile..
În aruncarea a două monede oneste se face următorul pariu: dacă ies 2 capete, se câștigă 3 $, dacă iese 1 cap, se câștigă 1 $, dar dacă ies două timbre, trebuie plătit 5 $. Calculați câștigul așteptat al pariului.
Variabila aleatoare X este valorile pe care le ia banii în pariu și probabilitățile au fost calculate în exemplul anterior, prin urmare tabelul pariului este:
E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
Deoarece valoarea așteptată este 0, este un joc corect, așa că aici se așteaptă ca pariorul să nu câștige și nici să nu piardă. Cu toate acestea, sumele pariului pot fi modificate pentru a face pariul un joc cu handicap sau un joc cu handicap..
Nimeni nu a comentat acest articol încă.