funcția logaritmică este o relație matematică care asociază fiecare număr real pozitiv X cu logaritmul său Da pe o bază la. Această relație îndeplinește cerințele pentru a fi o funcție: fiecare element x aparținând domeniului are o imagine unică.
Prin urmare:
f (x) = y = logla X , cu un> 0 și diferit de 1.
Principalele proprietăți ale funcției logaritmice sunt:
-Domeniul său este toate realele mai mari de 0, fără a include 0. Cu alte cuvinte, nu există logaritm de 0 sau numere negative în nicio bază. În formă de interval:
Soare F = (0, ∞ +)
-Logaritmul unui număr poate fi negativ, pozitiv sau 0, deci intervalul sau intervalul său este:
Rgo F = (-∞, ∞ +)
-Funcția logaritmică este întotdeauna în creștere pentru a> 1 și descrescătoare pentru a<1.
-Inversul lui f (x) = logla X este funcția exponențială.
Într-adevăr, funcția logaritmică bazată pe, este funcția inversă a funcției potențiale:
F-1(x) = aDa
Din moment ce logaritmul în bază la a unui număr X, Este numărul Da la care trebuie ridicată baza la a obține X.
-Logaritmul bazei este întotdeauna 1. Astfel, graficul lui f (x) = logla X intersectează întotdeauna axa x în punctul (1,0)
-Funcția logaritmică este transcendent și nu poate fi exprimat ca un polinom sau ca un coeficient al acestora. În plus față de logaritm, acest grup include, printre altele, funcțiile trigonometrice și exponențiale.
Indice articol
Funcția logaritmică poate fi stabilită prin diferite baze, dar cele mai utilizate sunt 10 și și, Unde și este numărul Euler egal cu 2,71828 ... .
Când se folosește baza 10, logaritmul se numește logaritm zecimal, logaritm vulgar, Briggs sau doar logaritm simplu.
Și dacă se utilizează numărul e, atunci este numit logaritm natural, de către John Napier, matematicianul scoțian care a descoperit logaritmii..
Notația utilizată pentru fiecare este următoarea:
-Logaritm zecimal: jurnal10 x = log x
-Logaritm natural: ln x
Atunci când se folosește o altă bază, este absolut necesar să o indicați ca un indice, deoarece logaritmul fiecărui număr este diferit în funcție de baza care trebuie utilizată. De exemplu, dacă este logaritm în baza 2, scrieți:
y = jurnalDouă X
Să analizăm logaritmul numărului 10 în trei baze diferite, pentru a ilustra acest punct:
jurnal 10 = 1
ln 10 = 2,30259
ButurugaDouă 10 = 3,32193
Calculatoarele obișnuite aduc doar logaritmi zecimali (funcția jurnal) și logaritm natural (funcția ln). Pe Internet există calculatoare cu alte baze. În orice caz, cititorul poate verifica, cu ajutorul său, dacă valorile de mai sus sunt adevărate:
101 = 10
și2,3026 = 10.0001
Două3.32193 = 10.0000
Diferențele zecimale mici se datorează numărului de zecimale luate la calcularea logaritmului.
Printre avantajele utilizării logaritmilor se numără ușurința pe care o oferă pentru a lucra cu numere mari, folosind logaritmul lor în locul numărului direct.
Acest lucru este posibil, deoarece funcția de logaritm crește mai lent pe măsură ce numerele cresc, așa cum putem vedea în grafic.
Deci, chiar și cu numere foarte mari, logaritmii lor sunt mult mai mici, iar manipularea numerelor mici este întotdeauna mai ușoară..
În plus, logaritmii au următoarele proprietăți:
-Produs: log (a.b) = log a + log b
-Coeficient: log (a / b) = log a - log b
-Putere: log ab = b.log a
Și în acest fel, produsele și coeficienții devin adunări și scăderi de numere mai mici, în timp ce potențarea devine un produs simplu, chiar dacă puterea este mare..
De aceea, logaritmii ne permit să exprimăm numere care variază în intervale foarte mari de valori, precum intensitatea sunetului, pH-ul unei soluții, luminozitatea stelelor, rezistența electrică și intensitatea cutremurelor de pe scara Richter..
Să vedem un exemplu de manipulare a proprietăților logaritmilor:
Găsiți valoarea lui x în următoarea expresie:
log (5x +1) = 1 + log (2x-1)
Avem aici o ecuație logaritmică, deoarece necunoscutul se află în argumentul logaritmului. Se rezolvă lăsând un singur logaritm pe fiecare parte a egalității.
Începem prin a plasa toți termenii care conțin „x” în stânga egalității și cei care conțin doar numere în dreapta:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
În stânga avem scăderea a două logaritmi, care pot fi scrise ca logaritmul unui coeficient:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = 1
Cu toate acestea, în dreapta este numărul 1, pe care îl putem exprima ca log 10, așa cum am văzut mai devreme. Atunci:
log [(5x + 1) / (2x-1)] = log 10
Pentru ca egalitatea să fie îndeplinită, argumente dintre logaritmi trebuie să fie egali:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 15.11
În 1957 a avut loc un cutremur în Mexic a cărui magnitudine a fost de 7,7 pe scara Richter. În 1960, un alt cutremur de magnitudine mai mare a avut loc în Chile, de 9,5.
Calculați de câte ori cutremurul din Chile a fost mai intens decât cel din Mexic, știind că magnitudinea MR pe scara Richter este dată de formula:
MR = jurnal (104 Eu)
Magnitudinea pe scara Richter a unui cutremur este o funcție logaritmică. Vom calcula intensitatea fiecărui cutremur, deoarece avem magnitudinile Richter. Să o facem pas cu pas:
-Mexic: 7.7 = log (104 Eu)
Deoarece inversul funcției logaritmului este exponențial, aplicăm acest lucru ambelor părți ale egalității cu intenția de a rezolva pentru I, care se găsește în argumentul logaritmului.
Deoarece sunt logaritmi zecimali, baza este 10. Apoi:
10 7.7 = 104 Eu
Intensitatea cutremurului din Mexic a fost:
EuM = 10 7.7 / 104 = 103.7
-chili: 9,5 = log (104 Eu)
Aceeași procedură ne duce la intensitatea cutremurului chilian ICh:
EuCh = 10 9.5 / 104 = 105.5
Acum putem compara ambele intensități:
EuCh / EuM = 105.5 / 103.7 = 101.8 = 63,1
EuCh = 63,1. EuM
Cutremurul din Chile a fost de aproximativ 63 de ori mai intens decât cel din Mexic. Deoarece magnitudinea este logaritmică, aceasta crește mai lent decât intensitatea, deci o diferență de 1 în magnitudine, înseamnă o amplitudine de 10 ori mai mare a undei seismice.
Diferența dintre magnitudinile ambelor cutremure este de 1,8, prin urmare ne-am putea aștepta la o diferență de intensități mai apropiată de 100 decât de 10, așa cum sa întâmplat de fapt..
De fapt, dacă diferența ar fi fost exact 2, cutremurul din Chile ar fi fost de 100 de ori mai intens decât cel mexican..
Nimeni nu a comentat acest articol încă.