funcții trigonometrice variabilei reale corespund oricărui unghi (exprimat în radiani), un raport trigonometric, care poate fi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant și cosecant.
În acest fel avem cele șase funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant și cotangent..
Funcțiile trigonometrice pentru unghiurile cuprinse între 0 și 2π sunt definite cu ajutorul cercului unitar, cu raza 1 și al cărui centru coincide cu cel al originii sistemului de coordonate carteziene: punctul (0,0).
Putem localiza orice punct P de coordonate (x, y) pe această circumferință.
Segmentul care unește originea cu P, împreună cu respectivele segmente care unesc proiecțiile lui P pe axele de coordonate, alcătuiesc un triunghi dreptunghi, ale cărui raporturi trigonometrice sunt cunoscute sub numele de rapoartele dintre laturile triunghiului. A) Da:
Și acum motivele care sunt inversele celor precedente:
În cercul unitar, hipotenuza oricărui triunghi este egală cu 1, iar picioarele valorează x și y, deci:
sin θ = y
cos θ = x
În acest fel, funcțiile sinus și cosinus dobândesc întotdeauna valori cuprinse între -1 și 1, în timp ce restul:
tg θ = y / x
cosec θ = 1 / y
sec θ = 1 / x
Nu sunt definite când X sau Da în valoare de 0.
Indice articol
După cum vom vedea mai jos, funcțiile trigonometrice sunt caracterizate prin faptul că sunt periodice. Prin urmare, acestea nu sunt bijective, cu excepția unui domeniu restrâns..
Pornind de pe cercul trigonometric din punctul P (1,0), unghiul este de 0 radiani. Apoi raza se rotește în sens invers acelor de ceasornic și funcția sin x crește treptat până ajunge la π / 2 radiani (90º), echivalent cu aproximativ 1.571 radiani..
Acolo atinge valoarea y = 1 și apoi scade până ajunge la zero în π radiani (180 °). Mai târziu scade și mai mult, deoarece valoarea devine negativă până când atinge -1 când unghiul este de 3π / 2 radiani (270 °).
În cele din urmă, crește din nou până când revine la zero la 360 °, unde totul începe din nou. Acest lucru face ca y = sin x a funcția periodică din perioada 2π, prin urmare funcția sinusoidală nu este bijectivă.
De asemenea, graficul este simetric în raport cu punctul (0,0), prin urmare funcția este impară.
Apoi graficul lui y = sin x:
Secțiunea în roșu este prima perioadă. De asemenea, sunt luate în considerare unghiuri negative, deoarece raza cercului trigonometric se poate roti în sensul acelor de ceasornic.
Domeniul păcatului x = Toate realele.
Raza sau calea păcatului x = [-1,1]
În punctul P (1,0) funcția cosinusului valorează 1 și de acolo scade, ajungând la 0 când unghiul este π / 2. Continuă să scadă și ia valori negative, până ajunge la -1 în unghiul π.
Apoi începe să crească treptat până ajunge la 0 în 3π / 2 și revine la valoarea 1 când raza a făcut o rotație completă. De aici ciclul se repetă, deoarece cos x este periodic și este, de asemenea, egal (simetric în jurul axei verticale).
Forma funcției cosinusului este aceeași cu cea a funcției sinus, cu excepția faptului că acestea sunt deplasate π / 2 una față de cealaltă..
Domeniul cos x = Toate realele.
Cos x range sau travel = [-1,1]
Funcțiile tg x, ctg x, sec x și cosec x sunt discontinue, întrucât sunt cote între sinus și cosinus, sau invers. Deoarece acestea valorează 0 în unele unghiuri, atunci când apar în numitor fac funcția discontinuă.
Și întrucât sinusul și cosinusul sunt funcții periodice, funcțiile tg x, ctg x, sec x, cosec x sunt, de asemenea, periodice..
Pentru funcția tangentă, valorile discontinuității sunt: ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ... Acolo funcția ia valori foarte mari sau foarte mici. În general, acest lucru se întâmplă pentru toți multiplii π ai formei (2n + 1) π / 2, atât pozitivi cât și negativi, cu n = 0, 1, 2 ...
Prin urmare:
Tg x domeniu: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z
Tg x autonomie sau deplasare: Toate reale.
Rețineți că funcția f (x) = tg x se repetă între - π / 2 și + π / 2, prin urmare perioada sa este π. În plus, este simetric în raport cu originea.
Pentru această funcție, valorile discontinuității apar la 0, ± π, ± 2π ..., adică multiplii întregi ai lui π.
La fel ca funcția tangentă, funcția cotangentă este periodică a perioadei π. Pentru ea este adevărat că:
Ctg x domeniu: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Ctg x autonomie sau deplasare: Toate reale.
Funcția sec x are puncte de discontinuitate la ± π / 2, ± 3π / 2, ± 5π / 2 ..., unde cos x = 0. De asemenea, este periodică cu perioada π și se observă și din grafic că funcția nu ia niciodată valori în interval (-1,1)
Domeniul sec x: D = x ∈ R / x ≠ (2n + 1) π / 2; n ∈ Z
Sec x distanță sau deplasare: Toate realele cu excepția (-1,1)
Este similar cu funcția secantă, deși este deplasată spre dreapta, prin urmare, punctele de discontinuitate sunt 0, ± π, ± 2π și toți multiplii întregi ai π. De asemenea, este periodic.
Domeniul X Cosec: D = x ∈ R / x ≠ n π; n ∈ Z
Domeniul de recoltare sau calea x: Toate realele cu excepția (-1,1)
Un bărbat înalt de 6 metri aruncă o umbră S a cărei lungime este dată de:
S (t) = 6 ot pătuț (π.t / 12) │
Cu S în picioare și t numărul de ore de la 6 AM. Cât de înaltă este umbra la 8 AM, 12 PM, 2 PM și 17:45?
Trebuie să evaluăm funcția pentru fiecare dintre valorile date, rețineți că trebuie să ia valoarea absolută, deoarece lungimea umbrei este pozitivă:
-La 8 AM, au trecut 2 ore de la 6 AM, prin urmare t = 2 și S (t) este:
S (2) = 6 ot pătuț (π.2 / 12) │ft = 6 │ pătuț (π / 6) │ft = 10.39 picioare.
-Când este 12 N, s-au scurs t = 6 ore, prin urmare:
S (6) = 6 ot pătuț (π.6 / 12) │ft = 6 │ pătuț (π / 2) │ft = 0 picioare. (În acel moment Soarele cade vertical pe capul persoanei).
-La 14:00 t = au trecut 8 ore:
S (8) = 6 ot pătuț (π.8 / 12) │ft = 6 │ pătuț (2π / 3) │ft = 3,46 picioare.
-Când este ora 17:45, au trecut deja 11.75 ore de la 6 dimineața, deci:
S (11.75) = 6 ot pătuț (π x 11.75 / 12) │picioare = 91.54 picioare. În această oră, umbrele devin mai lungi.
Poate cititorul să calculeze timpul când umbra persoanei este egală cu înălțimea sa??
Nimeni nu a comentat acest articol încă.