integral nedefinit este operația inversă a derivării și pentru a o denota se folosește simbolul „s” alungit: ∫. Din punct de vedere matematic, integralul nedefinit al funcției F (x) este scris:
∫F (x) dx = f (x) + C
În cazul în care integrandul F (x) = f '(x) este o funcție a variabilei X, care este la rândul său derivata unei alte funcții f (x), numită integrală sau antiderivativă.
La rândul său, C este o constantă cunoscută sub numele de constantă a integrării, care însoțește întotdeauna rezultatul fiecărei integrale nedeterminate. Vom vedea originea imediat printr-un exemplu.
Să presupunem că ni se cere să găsim următoarea integrală nedefinită I:
I = ∫x.dx
Imediat f '(x) este identificat cu x. Înseamnă că trebuie să oferim o funcție f (x) astfel încât derivata sa să fie x, ceea ce nu este dificil:
f (x) = ½ xDouă
Știm că prin diferențierea f (x) obținem f '(x), o verificăm:
[½ xDouă] '= 2. (½ x) = x
Acum funcția: f (x) = ½ xDouă + 2 îndeplinește, de asemenea, cerința, deoarece derivarea este liniară și derivata unei constante este 0. Alte funcții care atunci când sunt derivate dau f (x) = sunt:
½ xDouă -1, ½ xDouă + cincisprezece; ½ xDouă - √2 ...
Și, în general, toate funcțiile formei:
f (x) = ½ xDouă + C
Sunt răspunsuri corecte la problemă.
Oricare dintre aceste funcții este numită antiderivativ sau primitivul lui f '(x) = x și tocmai acestui set de antiderivative ale unei funcții este ceea ce este cunoscut ca integral nedefinit.
Este suficient să cunoaștem doar una dintre primitive, deoarece, după cum se poate observa, singura diferență dintre ele este C constantă a integrării.
Dacă problema conține condiții inițiale, este posibil să se calculeze valoarea lui C pentru a se potrivi acestora (a se vedea exemplul rezolvat de mai jos).
Indice articol
În exemplul anterior, ∫x.dx a fost calculat deoarece era cunoscută o funcție f (x) care, atunci când a fost derivată, a dus la integrand.
Din acest motiv, din cele mai cunoscute funcții și derivatele lor, integralele de bază pot fi rezolvate rapid.
În plus, există câteva proprietăți importante care extind gama de posibilități la rezolvarea unei integrale. Fi k un număr real, atunci este adevărat că:
1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
3.- ∫h (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
4.- ∫xn dx = [xn + 1/ n + 1] + C (n ≠ -1)
5.- ∫x -1 dx = ln x + C
În funcție de integrand, există diverse metode algebrice, precum și metode numerice pentru rezolvarea integralelor. Aici menționăm:
-Schimbare variabilă
-Substituții algebrice și trigonometrice.
-Integrare pe piese
-Descompunerea în fracții simple pentru integrand de tip rațional
-Folosirea tabelelor
-Metode numerice.
Există integrale care pot fi rezolvate prin mai multe metode. Din păcate, nu există un criteriu unic care să determine a priori cea mai eficientă metodă de rezolvare a unei integrale date.
De fapt, unele metode vă permit să ajungeți la soluția anumitor integrale mai repede decât altele. Dar adevărul este că pentru a dobândi integrale de rezolvare a abilităților trebuie să exersați cu fiecare metodă.
Rezolvă:
Să facem o schimbare simplă de variabilă pentru cantitatea subradicală:
u = x-3
Cu:
x = u + 3
Derivarea ambelor părți în oricare dintre cele două expresii dă:
dx = du
Acum înlocuim integrala, pe care o vom denumi drept I:
I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u + 3) (√u) du = ∫ (u + 3) u1/2 du
Aplicăm proprietatea distributivă și multiplicarea puterilor de bază egală și obținem:
I = ∫ (u3/2 + 3 u1/2) du
După proprietatea 3 din secțiunea anterioară:
I = ∫ u3/2 du + ∫ 3u1/2 du
Acum se aplică proprietatea 4, cunoscută sub numele de stăpânirea puterilor:
∫ u3/2 du = [u 3/2 + 1 / (3/2 + 1)] + C1 =
= [u5/2 / (5/2)] + C1 = (2/5) u5/2 + C1
∫ 3u1/2 du = 3 ∫u1/2 du = 3 [u3/2 / (3/2)] + CDouă =
= 3 (2/3) u3/2 + CDouă = 2u3/2 + CDouă
Apoi, rezultatele sunt reunite în I:
I = (2/5) u5/2 + 2u3/2 + C
Cele două constante pot fi combinate într-una singură fără probleme. În cele din urmă, nu uitați să returnați modificarea variabilei care a fost făcută înainte și să exprimați rezultatul în termenii variabilei originale x:
I = (2/5) (x-3)5/2 + 2 (x-3)3/2 + C
Este posibil să se ia în calcul rezultatul:
I = 2 (x-3) 3/2 [(1/5) (x-3) +1] + C = (2/5) (x-3) 3/2 (x + 2) + C
Integrala nedefinită se aplică numeroaselor modele din științele naturale și sociale, de exemplu:
În soluționarea problemelor de mișcare, pentru a calcula viteza unui mobil, cunoașterea accelerației acestuia și în calculul poziției unui mobil, cunoașterea vitezei acestuia.
De exemplu, la calcularea costurilor de producție a articolelor și la modelarea unei funcții de cerere.
Viteza minimă necesară pentru ca un obiect să scape de atracția gravitațională a Pământului este dată de:
În această expresie:
-v este viteza obiectului care vrea să scape de pe Pământ
-y este distanța măsurată de la centrul planetei
-M este masa terestră
-G este constantă a gravitației
Se cere să se găsească relația dintre v Da Da, rezolvarea integralelor nedeterminate, dacă obiectului i se dă o viteză inițială vsau iar raza Pământului este cunoscută și se numește R.
Ni se prezintă două integrale nedeterminate pentru a rezolva folosind regulile de integrare:
Eu1 = ∫v dv = vDouă/ 2 + C1
EuDouă = -GM ∫ (1 / anDouă) dy = -GM ∫ y-Două dy = -GM [y-2 + 1/ (- 2 + 1)] + CDouă = GM. Da-1 + CDouă
Echivalăm eu1 și euDouă:
vDouă/ 2 + C1 = GM. Da-1 + CDouă
Cele două constante pot fi combinate într-una singură:
Odată ce integralele au fost rezolvate, aplicăm condițiile inițiale, care sunt următoarele: atunci când obiectul se află la suprafața Pământului, acesta se află la o distanță R de centrul său. În declarație, ei ne spun că y este distanța măsurată de centrul Pământului.
Și doar a fi la suprafață este că i se dă viteza inițială vo cu care va scăpa de atracția gravitațională a planetei. Prin urmare, putem stabili că v (R) = vsau. În acest caz, nimic nu ne împiedică să substituim această condiție în rezultatul pe care tocmai l-am obținut:
Și din moment ce vsau este cunoscut, la fel și G, M și R, putem rezolva valoarea constantei de integrare C:
Pe care îl putem substitui în rezultatul integralelor:
Și în cele din urmă clarificăm vDouă, factorizarea și gruparea corespunzătoare:
Aceasta este expresia care leagă viteza v a unui satelit care a fost tras de pe suprafața planetei (cu raza R) cu viteza inițială vo, când este la distanță Da din centrul planetei.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.