Se înțelege prin Multiplicativ invers dintr-un număr, un alt număr care înmulțit cu primul dă drept rezultat elementul neutru al produsului, adică unitatea. Dacă aveți un număr real la atunci inversul său multiplicativ este notat cu la-1, și este adevărat că:
a a-1 = a-1 a = 1
De obicei numărul la aparține setului de numere reale.
Dacă de exemplu luăm a = 2, atunci inversul său multiplicativ este Două-1 = ½ deoarece se verifică următoarele:
2 ⋅ 2-1 = 2-1⋅ 2 = 1
2⋅ ½ = ½ ⋅ 2 = 1
Pentru Multiplicator invers dintr-un număr se mai numește reciproc, deoarece inversul multiplicativ este obținut prin schimbul numărătorului și numitorului, de exemplu inversul multiplicativ al 3/4 este 4/3.
Ca regulă generală se poate spune că pentru un număr rațional (p / q) inversul său multiplicativ (p / q)-1 Este reciproc (q / p) după cum se poate verifica mai jos:
(p / q) ⋅ (p / q)-1 = (p / q) ⋅ (q / p) = (p⋅ q) / (q⋅ p) = (p⋅ q) / (p⋅ q) = 1
Inversul multiplicativ nu există în setul numeric al numerelor întregi, De exemplu, dacă este luat întregul 2, inversul său multiplicativ conform celor văzute mai sus ar fi ½, dar un ½ nu este un număr întreg..
De asemenea, nu există invers multiplicativ al elementului nul al multiplicării. Cu alte cuvinte, numărul zero (0), care este elementul nul al operației de multiplicare, nu are un invers multiplicativ, deoarece nu există un număr care să se înmulțească cu unitatea zero.
Inversul multiplicativ există în numere raționale, în numere reale și în numere complexe.
Găsiți inversul multiplicativ al lui 3/2 și verificați dacă îndeplinește proprietatea numerelor întregi multiplicative.
Conform regulii date mai sus, numeratorul și numitorul se schimbă în acest fel inversul multiplicativ al (3/2) este (2/3). Pentru a verifica înmulțirea celor două numere se efectuează:
(3/2) ⋅ (2/3) = (3 ⋅ 2) / (2 ⋅ 3) = 6/6 = 1.
Pentru a înmulți două numere fracționare, pur și simplu înmulțiți numeratorul primului cu numeratorul celui de-al doilea pentru a obține numeratorul rezultatului..
Pentru a obține numitorul unui produs de numere fracționate, procedați într-un mod similar, adică înmulțiți numitorii între ei și rezultatul este numitorul produsului. În exemplul nostru se verifică că numeratorul produsului numărului și reciprocul său este 6 și numitorul este 6, lăsând fracția 6/6 care este 1.
Inversul multiplicativ al lui -5 nu trebuie confundat cu simetricul său (+5), care este uneori numit invers aritmetic. Inversul multiplicativ va fi obținut după cum urmează:
(-5) ⋅ X = 1
Unde X este inversul multiplicativ care trebuie obținut. O posibilă procedură este rezolvarea pentru X necunoscut. Deoarece (-5) înmulțește X necunoscut în membrul stâng, atunci se întâmplă împărțind membrul drept:
X = 1 / (-5)
Deoarece se știe că + între - este -, atunci în cele din urmă se obține X:
X = - ⅕ .
În concluzie - ⅕ este inversul multiplicativ al lui -5.
Obțineți inversul multiplicativ al lui -√2. Să presupunem că inversul multiplicativ este X, atunci -√2 înmulțit cu X trebuie să fie unitate, o condiție pe care o impunem mai jos:
-√2 ⋅ X = 1
Apoi, ambii membri sunt împărțiți la -√2 pentru a obține:
(-√2 ⋅ X) / (-√2) = 1 / (-√2)
În primul membru -√2 este simplificat, lăsând:
X = 1 / (-√2)
Această expresie poate fi raționalizată, adică elimină rădăcina numitorului, înmulțind în numărător cu (-√2) și în numitor cu aceeași cantitate, astfel încât rezultatul să nu fie modificat:
X = (-√2) / [(-√2) (- √2)] = - (√2 / 2)
În concluzie - (√2 / 2) este inversul multiplicativ al lui (-√2).
Să presupunem că orice număr x, obține inversul său multiplicativ și să-l reprezentăm grafic.
În acest caz este o funcție f (x) = x, obținerea inversului multiplicativ este găsirea funcției g (x) astfel încât înmulțită cu primul număr al unității. Funcția g este reciprocă a lui f și nu trebuie confundată în niciun fel cu funcția sa inversă.
Cu alte cuvinte, inversul multiplicativ al lui x este un y astfel încât următoarele sunt adevărate:
x ⋅ y = 1
de unde compensare și aveți:
y = 1 / x.
Cele de mai sus sunt interpretate astfel având o valoare de x, formula anterioară ne dă inversul său multiplicativ.
Este posibil să se facă reprezentarea sa grafică așa cum se arată în figura următoare:
Dat fiind x = 2 - √2, obțineți inversul său multiplicativ.
Soluţie:
Pentru ca y să fie un invers multiplicativ al lui x, trebuie îndeplinită următoarea egalitate:
x ⋅ y = 1
Înlocuiți x cu valoarea sa:
(2 - √2) ⋅ y = 1
Apoi se șterge și:
y = 1 / (2 - √2)
Pentru a raționaliza rezultatul, numeratorul și numitorul sunt înmulțiți cu binomul lor conjugat:
y = (2 + √2) / ((2 + √2) (2 - √2))
În numitor se recunoaște un produs remarcabil numit produsul unei sume și al unei diferențe, care este diferența pătratelor. În acest fel, rădăcina din numitor dispare.
y = (2 + √2) / (2 ^ 2 - (√2) ^ 2)
Rezolvarea puterilor:
y = (2 + √2) / (4 - 2)
Simplificând:
y = (2 + √2) / 2
Obțineți inversul multiplicativ al lui (1 / a + 1 / b) unde a și b sunt numere reale nenule.
Soluţie:
Numim Y inversul multiplicativ al lui (1 / a + 1 / b), deci trebuie respectată următoarea ecuație:
Și ⋅ (1 / a + 1 / b) = 1
Variabila Y este ștearsă:
Y = 1 / (1 / a + 1 / b)
Numitorul este rezolvat:
Y = 1 / ((b + a) / a b)
După cum se știe din regulile algebrei, numitorul numitorului trece la numărător:
Y = (a b) / (b + a)
Se ordonă obținerea în cele din urmă:
(a b) / (a + b) care este inversul multiplicativ al lui (1 / a + 1 / b).
Obțineți inversul multiplicativ al lui (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Soluţie:
Amintiți-vă că inversul multiplicativ se mai numește reciproc, deoarece se obține tocmai prin schimbul numărătorului și numitorului.
Apoi inversul multiplicativ al lui (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2) va fi:
(a ^ 2 - b ^ 2) / (a - b)
Dar această expresie poate fi simplificată dacă recunoaștem, conform regulilor algebrei, că numeratorul este o diferență de pătrate care poate fi luată în considerare ca produs al unei sume printr-o diferență:
((a + b) (a - b)) / (a - b)
Deoarece există un factor comun (a - b) în numărător și în numitor, procedăm la simplificare, obținând în cele din urmă:
(a + b) care este inversul multiplicativ al lui (a - b) / (a ^ 2 - b ^ 2).
Nimeni nu a comentat acest articol încă.