Teorema lui Green este o metodă de calcul utilizată pentru a lega integralele de linie cu integralele de suprafață sau duble. Funcțiile implicate trebuie notate ca câmpuri vectoriale și definite în calea C.
De exemplu, o expresie integrală de linie poate fi foarte greu de rezolvat; totuși, prin implementarea teoremei lui Green, integralele duble devin destul de elementare. Este întotdeauna important să respectăm direcția pozitivă a traiectoriei, aceasta se referă la direcția inversă acelor de ceasornic.
Teorema lui Green este un caz particular al teoremei lui Stokes, unde proiecția funcției vectoriale se realizează în planul xy.
Indice articol
Expresia teoremei lui Green este următoarea:
Primul termen arată integrala de linie definită de calea „C”, a produsului scalar dintre funcția vectorială „F” și cea a vectorului „r”.
C: Este calea definită pe care funcția vectorială va fi proiectată atâta timp cât este definită pentru acel plan.
F: Funcție vectorială, unde fiecare dintre componentele sale este definită de o funcție ca aceasta (f, g).
r: Este un vector tangent la regiunea R peste care este definită integralul. În acest caz, operăm cu un diferențial al acestui vector.
În al doilea termen vedem teorema lui Green dezvoltată, unde se observă integrala dublă definită în regiunea R a diferenței derivatelor parțiale ale g și f, în raport cu x și respectiv y. Printr-un diferențial de zonă care nu este altceva decât produsul ambelor diferențiale bidimensionale (dx.dy).
Această teoremă se aplică perfect pentru integrale de spațiu și suprafață.
Pentru a demonstra teorema lui Green într-un mod simplu, această sarcină va fi împărțită în 2 părți. Mai întâi vom presupune că funcția vectorială F are doar definiție în versor eu. În timp ce funcția „g” corespunzătoare versorului j va fi egal cu zero.
F = f (x, y)eu + g (x, y)j = f (x, y)eu + 0
r = xeu + Daj
dr = dxeu + dyj
Mai întâi dezvoltăm integrala de linie peste traiectoria C, pentru care traiectoria a fost sectorizată în 2 secțiuni care merg mai întâi de la a la b și apoi de la b la a.
Definiția teoremei fundamentale a calculului este aplicată pentru o integrală definită.
Expresia este reordonată într-o singură integrală, negativul este transformat într-un factor comun și ordinea factorilor este inversată.
Atunci când observăm această expresie în detaliu, devine evident că atunci când aplicăm criteriile funcției primitive, suntem în prezența integralei expresiei derivate din f față de y. Evaluat în parametri
Acum este suficient să presupunem că funcția vectorială F este definită numai pentru g (x, y)j. În cazul în care atunci când funcționează într-un mod similar cu cazul anterior, se obțin următoarele:
Pentru a termina, cele 2 dovezi sunt luate și unite în cazul în care funcția vector ia valori pentru ambele versore. În acest fel, se arată cum integrala liniei după ce a fost definită și considerată ca o traiectorie unidimensională, poate fi dezvoltată pe deplin pentru plan și spațiu.
F = f (x, y)eu + g (x, y)j
În acest fel, se demonstrează teorema lui Green.
Aplicațiile teoremei lui Green sunt largi în ramurile fizicii și matematicii. Acestea se extind la orice aplicație sau utilizare care poate fi dată integrării liniei.
Lucrarea mecanică realizată de o forță F printr-o cale C, poate fi dezvoltată printr-o integrală de linie care este exprimată ca o integrală dublă a unei zone prin intermediul teoremei lui Green.
Momentele de inerție ale multor corpuri supuse forțelor externe la diferite puncte de aplicare răspund, de asemenea, la integrale de linie care pot fi dezvoltate cu teorema lui Green..
Aceasta are multiple funcționalități în studiile de rezistență ale materialelor utilizate. Acolo unde valorile externe pot fi cuantificate și luate în considerare înainte de elaborarea diferitelor elemente.
În general, teorema lui Green facilitează înțelegerea și definirea zonelor în care funcțiile vectoriale sunt definite în raport cu o regiune în funcție de traiectorie.
A fost publicat în 1828 în lucrare Analiza matematică a teoriilor electricității și magnetismului, scris de matematicianul britanic George Green. În acesta, sunt explorate secțiuni destul de decisive în aplicarea calculului în fizică, cum ar fi conceptul funcțiilor potențiale, funcțiile lui Green și aplicațiile teoremei sale auto-intitulate.
George Green și-a formalizat cariera de student la 40 de ani, fiind până acum un matematician complet autodidact. După ce a studiat la Universitatea din Cambridge, și-a continuat cercetările, contribuind la acustică, optică și hidrodinamică, care sunt valabile și astăzi..
Teorema lui Green este un caz special și apare din alte 2 teoreme foarte importante din domeniul calculului. Acestea sunt teorema lui Kelvin-Stokes și teorema divergenței sau Gauss Ostrogradski.
Pornind de la oricare dintre cele două teoreme, este posibil să se ajungă la teorema lui Green. Anumite definiții și propoziții sunt necesare pentru a dezvolta astfel de dovezi..
- Următorul exercițiu arată cum se transformă o integrală de linie într-o integrală dublă în raport cu o regiune R.
Expresia originală este următoarea:
De unde sunt luate funcțiile corespunzătoare lui f și g
f (x, y) = x3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Nu există un mod unic de a defini limitele integrării atunci când se aplică teorema lui Green. Dar există moduri în care integralele după ce sunt definite pot fi mai simple. Deci, optimizarea limitelor de integrare merită atenție.
Unde, atunci când rezolvăm integralele, obținem:
Această valoare corespunde în unități cubice regiunii de sub funcția vectorială și peste regiunea triunghiulară definită de C.
Pentru cazul integralei de linie fără a efectua metoda Green, ar fi fost necesar să se parametrizeze funcțiile din fiecare secțiune a regiunii. Adică, efectuați 3 integrale parametrizate pentru rezoluție. Aceasta este o dovadă suficientă a eficacității pe care Robert Green a adus-o cu teorema sa la calcul.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.