Transformată Fourier este o metodă de adecvare analitică orientată către funcții integrabile care aparține familiei ttransformat integral. Constă dintr-o redefinire a funcțiilor F (t) în termeni de Cos (t) și Sen (t).
Identitățile trigonometrice ale acestor funcții, împreună cu caracteristicile lor de derivare și antiderivare, servesc la definirea transformatei Fourier prin următoarea funcție complexă:
Ceea ce este adevărat atâta timp cât expresia are sens, adică atunci când integrala necorespunzătoare este convergentă. Algebric se spune că transformata Fourier este un homeomorfism liniar.
Fiecare funcție care poate fi lucrată cu o transformată Fourier trebuie să prezinte nul în afara unui parametru definit.
Indice articol
Transformata Fourier îndeplinește următoarele proprietăți:
Pentru a verifica existența transformatei Fourier într-o funcție f (t) definită în reali R, următoarele 2 axiome trebuie îndeplinite:
Fie M (t) și N (t) două funcții cu transformate Fourier definite, cu constante constante a și b.
F [a M (t) + b N (t)] (z) = a F [M (t)] (z) + b F [N (t)] (z)
Ceea ce este susținut și de liniaritatea integralei cu același nume.
Are o funcție F care este continuu și integrabil în toate realele, unde:
Și derivatul lui f (f ') este continuu și definit pe bucăți pe tot parcursul R
Transformata Fourier a unei derivate este definită prin integrarea pe părți, prin următoarea expresie:
F [f '(t)] (z) = izF [f (t)] (z)
În derivări de ordin superior, acesta va fi aplicat într-un mod omolog, unde pentru toate n 1 avem:
F [f n„(t)] (z) = (iz)nF [f (t)] (z)
Are o funcție F care este continuu și integrabil în toate realele, unde:
eu (d / dz)F [f (t)] (z) = F [t. f (t)] (z)
Pentru toți θ care aparține unui set S și T care aparține setului S ', avem:
F [ τla θ] = și-iay F [ θ] F [ τlaT ] = și-iax F [ T]
Cu τla lucrând ca operator de traducere pe vectorul a.
Pentru toți θ care aparține unui set S și T care aparține setului S ', avem:
τla F [θ] = F [și-iax.θ] τla F [T ] = F [și-iay . T]
Pentru toți la care aparține R
Pentru toți θ care aparține unui set S. T care aparține setului S '
λ aparținând R - 0 trebuie să:
F [θ (λx)] = (1 / | λ |) F [θ] (Y /λ)
F [T (λx)] = (1 / | λ |) F [T] (y / λ)
da F este o funcție continuă și clar integrabilă, unde a> 0. Apoi:
F [f (la)] (z) = (1 / a) F [f (t)] (z / a)
Pentru a demonstra acest rezultat putem continua cu schimbarea variabilei.
Când T → + atunci s = la → + ∞
Când T → - atunci s = la → - ∞
Pentru a studia simetria transformatei Fourier, trebuie verificată identitatea lui Parseval și a formulei Plancherel.
Avem θ și δ care aparțin S. De acolo se poate deduce că:
Obținerea
1 / (2π)d F [θ ], F [δ] Identitatea lui Parseval
1 / (2π)d / 2 || F [θ ] ||LDouăRd Formula Plancherel
Urmărind obiective similare ca în transformata Laplace, convoluția funcțiilor se referă la produsul dintre transformatele lor Fourier.
Avem f și g ca 2 funcții mărginite, definite și complet integrabile:
F (f * g) = F (f). F (g)
Apoi la schimbarea variabilei
t + s = x; continuă cu integrala dublă necorespunzătoare
F (f). F (g) = F (f. G)
Pentru toți θ care aparține R, F [ θ] respectă criteriile unei funcții continue mărginite în Rd.
De asemenea F [ θ] (y) → 0 în C dacă | y | → ∞
Acest concept matematic a fost prezentat de Joseph B. Fourier în 1811 în timp ce elabora un tratat despre răspândirea căldurii. A fost adoptat rapid de diferite ramuri ale științei și ingineriei.
A fost stabilit ca principal instrument de lucru în studiul ecuațiilor cu derivate parțiale, chiar comparându-l cu relația de lucru existentă între Transformata Laplace și ecuațiile diferențiale obișnuite.
Acesta servește în primul rând la simplificarea semnificativă a ecuațiilor, în timp ce transformă expresiile derivate în elemente de putere, denotând expresii diferențiale sub formă de polinoame integrabile..
În optimizarea, modularea și modelarea rezultatelor, acționează ca o expresie standardizată, fiind o resursă frecventă pentru inginerie după câteva generații.
Sunt serii definite în termeni de cosinus și sinus; Acestea servesc pentru a facilita lucrul cu funcții periodice generale. Atunci când sunt aplicate, acestea fac parte din tehnicile de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare și parțiale..
Seria Fourier este chiar mai generală decât seria Taylor, deoarece dezvoltă funcții discontinue periodice care nu au o reprezentare a seriei Taylor..
Pentru a înțelege transformata Fourier analitic, este important să revizuim celelalte moduri în care se poate găsi seria Fourier, până când putem defini seria Fourier în notația sa complexă.
De multe ori este necesar să se adapteze structura unei serii Fourier la funcțiile periodice a căror perioadă este p = 2L> 0 în intervalul [-L, L].
Se consideră intervalul [-π, π], care oferă avantaje atunci când se profită de caracteristicile simetrice ale funcțiilor.
Dacă f este egal, seria Fourier este stabilită ca o serie de cosinui.
Dacă f este impar, seria Fourier este stabilită ca o serie de sinusuri.
Dacă avem o funcție f (t), care îndeplinește toate cerințele de dezvoltare a seriei Fourier, este posibil să o denotăm în intervalul [-t, t] folosind notația sa complexă:
Transformata Fourier este un instrument puternic în studiul ecuațiilor diferențiale parțiale de tip liniar cu coeficienți constanți. Acestea se aplică în mod egal funcțiilor cu domenii nelimitate.
La fel ca transformata Laplace, transformata Fourier transformă o funcție derivată parțială într-o ecuație diferențială obișnuită mult mai ușor de operat..
Problema lui Cauchy pentru ecuația căldurii prezintă un câmp de aplicare frecventă a transformatei Fourier în care funcția este generată miez de căldură sau miez de Dirichlet.
În ceea ce privește calculul soluției fundamentale, sunt prezentate următoarele cazuri în care este comună găsirea transformatei Fourier:
-Ecuația Laplace
-Ecuația căldurii
-Ecuația Schrödinger
-Ecuația undelor
Motivul general pentru aplicarea transformatei Fourier în această ramură se datorează în principal descompunerii caracteristice a unui semnal ca o suprapunere infinită de semnale mai ușor de tratat.
Poate fi o undă sonoră sau o undă electromagnetică, transformata Fourier o exprimă într-o suprapunere de unde simple. Această reprezentare este destul de frecventă în ingineria electrică.
Pe de altă parte, există exemple de aplicare a transformatei Fourier în câmpul teoriei semnalului:
-Probleme de identificare a sistemului. Stabilit f și g
-Problemă de consistență a semnalului de ieșire
-Probleme cu filtrarea semnalului
Definiți transformata Fourier pentru următoarea expresie:
O putem reprezenta și în felul următor:
F (t) = Sen (t) [H(t + k) - H(t - k) ]
Pulsul dreptunghiular este definit:
p (t) = H(t + k) - H(t - k)
Transformata Fourier se aplică următoarei expresii care seamănă cu teorema modulației.
f (t) = p (t) Sen (t)
Unde: F [w] = (1/2) i [p (w + 1) - p (w - 1)]
Și transformata Fourier este definită de:
F [w] = (1/2) i [(2 / 2w + 1) Sen (k (w + 1)) - (2 / 2w + 1) Sen (k (w-1))]
Definiți transformata Fourier pentru expresia:
Deoarece f (h) este o funcție uniformă, se poate afirma că
Integrarea pe părți se aplică selectând variabilele și diferențialele acestora după cum urmează
u = sin (zh) du = z cos (zh) dh
dv = h (e-h)Două v = (e-h)Două / Două
Înlocuind-o
După evaluarea sub teorema fundamentală a calculului
Aplicând cunoștințe anterioare cu privire la ecuații diferențiale de prim ordin, expresia este notată ca
Pentru a obține K evaluăm
În cele din urmă, transformata Fourier a expresiei este definită ca
Nimeni nu a comentat acest articol încă.