transformată Fourier discretă este o metodă numerică utilizată pentru a defini probe referitoare la frecvențele spectrale care alcătuiesc un semnal. Studiați funcțiile periodice în parametri închisi, obținând un alt semnal discret.
Pentru a obține transformata Fourier discretă a N puncte, pe un semnal discret, următoarele 2 condiții trebuie îndeplinite pe o succesiune x [n]
x [n] = 0 n < 0 ˄ n > N - 1
Dacă aceste condiții sunt îndeplinite, transformata Fourier discretă poate fi definită ca
Transformata Fourier discretă poate fi definită ca o eșantionare în N a transformatei Fourier.
Indice articol
Există 2 puncte de vedere din care rezultatele obținute pe o secvență x pot fi interpretates[n] prin transformata Fourier discretă.
-Primul corespunde coeficienților spectrali, deja cunoscuți din seria Fourier. Se observă în semnale periodice discrete, cu probe care coincid cu secvența xs[n].
-Al doilea se referă la spectrul unui semnal aperiodic discret, cu probe corespunzătoare secvenței xs[n].
Transformarea discretă este o aproximare la spectrul semnalului analogic original. Faza sa depinde de instantele de eșantionare, în timp ce magnitudinea depinde de intervalul de eșantionare..
Fundamentele algebrice ale structurii alcătuiesc bazele logice ale următoarelor secțiuni.
C. Sn → C. F [Sk]; Dacă o secvență este înmulțită cu un scalar, transformarea ei va fi și ea.
Tn + Vn = F [Tk] + F [Vk]; Transformarea unei sume este egală cu suma transformărilor.
F [Sn] → (1 / N) S-k; Dacă transformata Fourier discretă este recalculată la o expresie deja transformată, se obține aceeași expresie, scalată în N și inversată în raport cu axa verticală.
Urmărind obiective similare ca în transformata Laplace, convoluția funcțiilor se referă la produsul dintre transformatele lor Fourier. Convoluția se aplică și timpurilor discrete și este responsabilă pentru multe proceduri moderne..
Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; Transformarea unei convoluții este egală cu produsul transformărilor.
Xn . Rn→ F [Xn] * F [Rn]; Transformarea unui produs este egală cu convoluția transformatelor.
Xn-m → F [Xk] e -i (2π / N) km ; Dacă o secvență este întârziată în m eșantioane, efectul acesteia asupra transformării discrete va fi o modificare a unghiului definit de (2π / N) km.
Xt [-k] = X *t[k] = Xt [N - K]
W-nmN . x [n] ↔ Xt[k - m]
x [n] y [n] ↔ (1 / N) Xt[k] * Yt[k]
X [-n] ↔ Xt[-k] = X *t[k]
x * [n] ↔ X *t[-k]
În ceea ce privește transformata Fourier convențională, are mai multe asemănări și diferențe. Transformata Fourier transformă o secvență într-o linie continuă. În acest fel se spune că rezultatul variabilei Fourier este o funcție complexă a unei variabile reale.
Transformata Fourier discretă, spre deosebire de aceasta, primește un semnal discret și o transformă într-un alt semnal discret, adică o secvență.
Ele servesc în primul rând la simplificarea semnificativă a ecuațiilor, în timp ce transformă expresiile derivate în elemente de putere. Denotarea expresiilor diferențiale în forme de polinoame integrabile.
În optimizarea, modularea și modelarea rezultatelor, acționează ca o expresie standardizată, fiind o resursă frecventă pentru inginerie după câteva generații.
Acest concept matematic a fost prezentat de Joseph B. Fourier în 1811, în timp ce elabora un tratat despre răspândirea căldurii. A fost adoptat rapid de diferite ramuri ale științei și ingineriei.
A fost stabilit ca principal instrument de lucru în studiul ecuațiilor cu derivate parțiale, chiar comparându-l cu relația de lucru existentă între Transformata Laplace și ecuațiile diferențiale obișnuite.
Fiecare funcție care poate fi lucrată cu o transformată Fourier trebuie să prezinte nul în afara unui parametru definit.
Transformarea discretă se obține prin expresia:
După o secvență discretă X [n]
Inversul transformatei Fourier discrete este definit prin expresia:
Odată realizată transformarea discretă, aceasta permite definirea secvenței în domeniul timpului X [n].
Procesul de parametrizare corespunzător transformatei Fourier discrete se află în fereastră. Pentru a lucra transformarea trebuie să limităm secvența în timp. În multe cazuri, semnalele în cauză nu au aceste limitări.
O secvență care nu îndeplinește criteriile de dimensiune pentru a se aplica transformării discrete poate fi multiplicată cu o funcție „fereastră” V [n], definind comportamentul secvenței într-un parametru controlat.
X [n]. V [n]
Lățimea spectrului va depinde de lățimea ferestrei. Pe măsură ce lățimea ferestrei crește, transformarea calculată va fi mai îngustă.
Transformata Fourier discretă este un instrument puternic în studiul secvențelor discrete.
Transformata Fourier discretă transformă o funcție variabilă continuă, într-o transformată variabilă discretă.
Problema lui Cauchy pentru ecuația căldurii prezintă un câmp frecvent de aplicare a transformatei Fourier discrete. Unde este generată funcția miez de căldură sau miez de Dirichlet, care se aplică eșantionării valorilor într-un parametru definit.
Motivul general pentru aplicarea transformatei Fourier discrete în această ramură se datorează în principal descompunerii caracteristice a unui semnal ca o suprapunere infinită de semnale mai ușor de tratat.
Poate fi o undă sonoră sau o undă electromagnetică, transformata Fourier discretă o exprimă într-o suprapunere de unde simple. Această reprezentare este destul de frecventă în ingineria electrică.
Sunt serii definite în termeni de cosinus și sinus. Acestea servesc pentru a facilita lucrul cu funcții periodice generale. Atunci când sunt aplicate, acestea fac parte din tehnicile de rezolvare a ecuațiilor diferențiale ordinare și parțiale..
Seria Fourier este chiar mai generală decât seria Taylor, deoarece dezvoltă funcții discontinue periodice care nu au o reprezentare a seriei Taylor..
Pentru a înțelege analitic transformata Fourier, este important să revizuim celelalte moduri în care se poate găsi seria Fourier, până când putem defini seria Fourier în notația sa complexă..
De multe ori este necesar să se adapteze structura unei serii Fourier la funcțiile periodice a căror perioadă este p = 2L> 0 în intervalul [-L, L].
Se consideră intervalul [-π, π], care oferă avantaje atunci când se profită de caracteristicile simetrice ale funcțiilor.
Dacă f este egal, seria Fourier este stabilită ca o serie de cosinui.
Dacă f este impar, seria Fourier este stabilită ca o serie de sinusuri.
Dacă avem o funcție f (t), care îndeplinește toate cerințele seriei Fourier, este posibil să o denotăm în intervalul [-t, t] folosind notația sa complexă:
În ceea ce privește calculul soluției fundamentale, sunt prezentate următoarele exemple:
Ecuația Laplace
Ecuația căldurii
Ecuația Schrödinger
Ecuația undelor
Pe de altă parte, următoarele sunt exemple de aplicare a transformatei Fourier discrete în câmpul teoriei semnalului:
-Probleme de identificare a sistemului. Stabilit f și g
-Problemă de consistență a semnalului de ieșire
-Probleme cu filtrarea semnalului
Calculați transformata Fourier discretă pentru următoarea secvență.
Puteți defini PTO-ul lui x [n] ca:
Xt[k] = 4, -j2, 0, j2 pentru k = 0, 1, 2, 3
Vrem să determinăm printr-un algoritm digital semnalul spectral definit de expresia x (t) = e-t. Unde coeficientul de solicitare a frecvenței maxime este fm= 1Hz. O armonică corespunde f = 0,3 Hz. Eroarea este limitată la mai puțin de 5%. calculati Fs , D și N.
Ținând cont de teorema de eșantionare Fs = 2fm = 2 Hz
O rezoluție de frecvență de F0 = 0,1 Hz, de unde obții D = 1 / 0.1 = 10s
0,3 Hz este frecvența corespunzătoare indicelui k = 3, unde N = 3 × 8 = 24 de probe. Indicând faptul că Fs = N / A = 24/10 = 2.4> 2
Deoarece scopul este de a obține cea mai mică valoare posibilă pentru N, următoarele valori pot fi considerate o soluție:
F0 = 0,3 Hz
D = 1 / 0,3 = 3,33s
k = 1
N = 1 × 8 = 8
Nimeni nu a comentat acest articol încă.