coordonate dreptunghiulare sau cartezian sunt cele care se obțin prin proiectarea ortogonală pe cele trei axe carteziene X, Y, Z un punct situat în spațiul tridimensional.
Axele carteziene sunt linii orientate reciproc perpendiculare între ele. În sistemul de coordonate carteziene, fiecărui punct din spațiu i se atribuie trei numere reale care sunt coordonatele sale dreptunghiulare.
Un plan este un subspatiu al spatiului tridimensional. În cazul luării în considerare a punctelor de pe un plan, atunci este suficient să alegeți o pereche de axe perpendiculare X, Y ca sistem cartezian. Atunci fiecărui punct al planului i se atribuie două numere reale care sunt coordonatele sale dreptunghiulare.
Indice articol
Coordonatele dreptunghiulare au fost inițial propuse de matematicianul francez René Descartes (1596 și 1650), motiv pentru care sunt numite carteziene.
Cu această idee a lui Descartes, punctelor planului și spațiului li se atribuie numere, astfel încât figurile geometrice au o ecuație algebrică asociată și teoremele geometrice clasice pot fi dovedite algebric. Cu coordonatele carteziene, se naște geometria analitică.
Dacă într-un plan se aleg două linii perpendiculare care se intersectează într-un punct O; și dacă, în plus, fiecărei linii i se atribuie o direcție și o scară numerică între punctele echidistante succesive, atunci există un sistem cartesian sau plan în care fiecare punct al planului este asociat cu o pereche ordonată de două numere reale care sunt proiecțiile lor respectiv pe axele X și Y.
Punctele A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) și D = (3, -3) sunt reprezentate în plan cartezian așa cum se arată mai jos:
Rețineți că cele două axe X și Y împart planul în patru sectoare numite cadrane. Punctul A este în primul cadran, B este în al doilea cadran, C este în al treilea cadran, iar punctul D este în al patrulea cadran..
Distanța dintre două puncte A și B pe plan cartezian este lungimea segmentului care le unește. Această distanță poate fi calculată analitic după cum urmează:
d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)
Formula de mai sus se obține prin aplicarea teoremei lui Pitagora.
Aplicând această formulă punctelor A, B din figura 2 avem:
d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)
Adică d (A, B) = 5,10 unități. Rețineți că distanța a fost obținută fără a fi necesară măsurarea cu o riglă, a fost urmată o procedură complet algebrică.
Coordonatele dreptunghiulare permit reprezentarea analitică a obiectelor geometrice fundamentale precum punctul și linia. Două puncte A și B definesc o singură linie. Panta liniei este definită ca coeficientul dintre diferența coordonatelor Y ale punctului B minus A, împărțit la diferența coordonatelor X ale punctului B minus A:
panta = (By - Ay) / (Bx - Axe)
Orice punct P de coordonate (x, y) care aparține liniei (AB) trebuie să aibă aceeași pantă:
panta = (y - Ay) / (x - Ax)
Ecuația care se obține prin intermediul egalității pantelor este reprezentarea analitică sau algebrică a liniei care trece prin punctele A și B:
(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).
Dacă luăm pentru A și B coordonatele dreptunghiulare din figura 2 avem:
(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)
(y - 2) / (x - 3) = -⅕
În acest caz particular, avem o linie cu o pantă negativă -⅕, ceea ce înseamnă că, localizând pe un punct de pe linie și mărind coordonata x cu o unitate, coordonata y scade cu 0,2 unități.
Cea mai obișnuită modalitate de a scrie ecuația liniei în plan este cu coordonata y ștearsă în funcție de variabila x:
y = - (1/5) x + 13/5
Obțineți prin metode analitice distanța dintre punctele C și A, fiind coordonatele dreptunghiulare ale lui C = (-2, -3) și cele ale lui A = (3,2).
Formula pentru distanța euclidiană dintre aceste două puncte este scrisă astfel:
d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)
Înlocuind coordonatele lor dreptunghiulare corespunzătoare avem:
d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07
Obțineți ecuația liniei care trece prin punctul C al coordonatelor (-2, -3) și punctul P al coordonatelor (2, 0).
În primul rând, se obține panta liniei CP:
panta = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾
Orice punct Q de coordonate dreptunghiulare generice (x, y) care aparține liniei CP trebuie să aibă aceeași pantă:
panta = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)
Cu alte cuvinte, ecuația liniei CP este:
(y +3) / (x +2) = ¾
O modalitate alternativă de a scrie ecuația liniei CP este rezolvarea pentru y:
y = ¾ x - 3/2
Obțineți coordonatele dreptunghiulare ale punctului de intersecție dintre liniile y = - (1/5) x + 13/5 și linia y = ¾ x - 3/2.
Soluție: Prin definiție, punctul de intersecție al celor două linii împarte aceleași coordonate dreptunghiulare. Prin urmare, coordonatele y la punctul de intersecție sunt identice pentru ambele linii:
-(1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2
ceea ce duce la următoarea expresie:
(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2
rezolvând suma fracțiilor obținem:
19/20 x = 41/10
Rezolvarea pentru x:
x = 82/19 = 4,32
Pentru a obține interceptarea y, valoarea x obținută este substituită în oricare dintre linii:
y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74
Aceasta înseamnă că liniile date se intersectează în punctul I al coordonatelor I = (4.32, 1.74).
Obțineți ecuația circumferinței care trece prin punctul R al coordonatelor dreptunghiulare (3, 4) și care își are centrul la originea coordonatelor.
Soluție: Raza R este distanța de la punctul R la originea O a coordonatelor (0, 0).
d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5
Adică este un cerc de rază 5 centrat la (0,0).
Orice punct P (x, y) de pe circumferință trebuie să aibă aceeași distanță 5 de centru (0, 0), astfel încât să poată fi scris:
d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Și anume:
√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5
Pentru a elimina rădăcina pătrată, ambii membri ai egalității sunt pătrate, obținând:
x ^ 2 + y ^ 2 = 25
Care este ecuația circumferinței.
Acest exemplu ilustrează puterea sistemului de coordonate dreptunghiulare, care permite determinarea obiectelor geometrice, cum ar fi circumferința, fără a fi nevoie să folosiți hârtie, creion și busolă. Circumferința solicitată a fost determinată exclusiv prin metode algebrice.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.