Lungimea, teorema și exercițiile coardei (geometrie)

A şir, în geometria plană, este segmentul de linie care unește două puncte pe o curbă. Se spune că linia care conține acest segment este o linie secantă către curbă. Acesta este adesea un cerc, dar acordurile pot fi desenate cu siguranță pe multe alte curbe, cum ar fi elipse și parabole..

În figura 1 din stânga există o curbă, la care aparțin punctele A și B. Acordul dintre A și B este segmentul verde. În dreapta este o circumferință și una dintre șirurile sale, deoarece este posibil să desenăm infinit.

În circumferință diametrul său este deosebit de interesant, care este, de asemenea, cunoscut sub numele coardă majoră. Este o coardă care conține întotdeauna centrul circumferinței și măsoară de două ori raza.

Următoarea figură arată raza, diametrul, o coardă și, de asemenea, arcul unui cerc. Identificarea corectă a fiecăruia este importantă la rezolvarea problemelor.

Indice articol

• 1 Lungimea coardei unei circumferințe
  • 1.1 Teorema șirurilor 
• 2 Exerciții rezolvate de corzi
  • 2.1 - Exercițiul 1
  • 2.2 - Exercițiul 2
• 3 Referințe

Lungimea coardei unei circumferințe

Putem calcula lungimea coardei într-un cerc din figurile 3a și 3b. Rețineți că un triunghi este întotdeauna format cu două laturi egale (isoscel): segmente OA și OB, care măsoară R, raza circumferinței. A treia latură a triunghiului este segmentul AB, numit C, care este exact lungimea coardei.

Este necesar să trasăm o linie perpendiculară pe coarda C pentru a bisecta unghiul θ care există între cele două raze și al cărui vârf este centrul O al circumferinței. Acesta este un unghiul central -deoarece vârful său este centrul și linia bisectoare este, de asemenea, o secantă la circumferință.

Imediat se formează două triunghiuri dreptunghiulare, a căror hipotenuză măsoară R. Deoarece bisectoarea, și cu ea diametrul, împarte coarda în două părți egale, se dovedește că una dintre picioare este jumătate din C, așa cum se indică în figura 3b.

Din definiția sinusului unui unghi:

sin (θ / 2) = picior opus / hipotenuză = (C / 2) / R

Prin urmare:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Teorema șirurilor 

Teorema șirurilor merge așa:

Dacă oricare două coarde ale unui cerc se intersectează într-un punct, produsul lungimii segmentelor care apar pe unul dintre coarde este egal cu produsul lungimilor segmentelor definite pe cealaltă coardă..

Următoarea figură prezintă două coarde cu aceeași circumferință: AB și CD, care se intersectează în punctul P. În coarda AB sunt definite segmentele AP și PB, în timp ce în coarda CD sunt definite CP și PD. Deci, conform teoremei:

AP. PB = CP. P.S.

Exerciții rezolvate de corzi

- Exercitiul 1

O circumferință are o coardă de 48 cm, care este la 7 cm de centru. Calculați aria cercului și perimetrul circumferinței.

Soluţie  

Pentru a calcula aria cercului A, este suficient să cunoaștem raza circumferinței pătrate, deoarece este adevărat:

A = π.R^Două

Acum, figura care se formează cu datele furnizate este un triunghi dreptunghiular, ale cărui picioare sunt de 7 și respectiv 24 cm.

Prin urmare, pentru a găsi valoarea lui R^Două teorema lui Pitagora se aplică direct c^Două = a^Două + b^Două, deoarece R este ipotenuza triunghiului:

R^Două = (7 cm)^Două + (24 cm)^Două = 625 cm^Două

Deci zona solicitată este:

A = π. 625 cm^Două = 1963,5 cm^Două

În ceea ce privește perimetrul sau lungimea L a circumferinței, acesta se calculează prin:

L = 2π. R

Înlocuirea valorilor:

R = √625 cm^Două = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Exercițiul 2

Determinați lungimea coardei unui cerc a cărui ecuație este:

X^Două + Da^Două - 6x - 14y -111 = 0

Coordonatele punctului de mijloc al coardei sunt cunoscute a fi P (17/2; 7/2).

Soluţie

Punctul de mijloc al coardei P nu aparține circumferinței, dar punctele finale ale coardei sunt. Problema poate fi rezolvată prin intermediul teoremei șirurilor menționate anterior, dar mai întâi este convenabil să scrieți ecuația circumferinței în formă canonică, pentru a determina raza sa R ​​și centrul său O.

Pasul 1: obțineți ecuația canonică a circumferinței

Ecuația canonică a cercului cu centrul (h, k) este:

(x-h)^Două + (y-k)^Două = R^Două

Pentru a-l obține, este necesar să completați pătrate:

(X^Două - 6x) + (și^Două - 14y) -111 = 0

Rețineți că 6x = 2. (3x) și 14y = 2. (7y), astfel încât expresia anterioară să fie rescrisă astfel, rămânând neschimbată:

(X^Două - 6x + 3^Două-3^Două) + (și^Două - 14y + 7^Două-7^Două) -111 = 0

Și acum, amintindu-ne de definiția produsului remarcabil (a-b)^Două = a^Două - 2ab + b^Două Se poate scrie:

(x - 3)^Două - 3^Două + (și - 7)^Două - 7^Două - 111 = 0

= (x - 3)^Două + (și - 7)^Două = 111 + 3^Două + 7^Două → (x - 3)^Două + (și - 7)^Două = 169

Circumferința are centrul (3,7) și raza R = √169 = 13. Următoarea figură prezintă graficul circumferinței și acordurile care vor fi utilizate în teoremă:

Pasul 2: determinați segmentele de utilizat în teorema șirurilor

Segmentele care trebuie utilizate sunt șirurile CD și AB, conform figurii 6, ambele sunt tăiate în punctul P, prin urmare:

CP. PD = AP. PB

Acum vom găsi distanța dintre punctele O și P, deoarece acest lucru ne va oferi lungimea segmentului OP. Dacă adăugăm raza la această lungime, vom avea segmentul CP.

Distanța d_OP între două puncte de coordonate (x₁,Da₁) și (x_Două,Da_Două) este:

d_OP^Două = OP^Două = (x_Două - X₁)^Două + (Y_Două - Da₁)^Două = (3- 17/2)^Două + (7/7/2)^Două = 121/4 + 49/4 = 170/4

d_OP = OP = √170 / 2

Cu toate rezultatele obținute, plus graficul, construim următoarea listă de segmente (a se vedea figura 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = lungimea coardei

Înlocuind în teorema șirului:

CP. PD = AP. PB = [(13 + √170 / 2). (13 -√170 / 2)] = AP^Două

[169 -170/4] = AP^Două

253/2 = AP^Două

AP = √ (253/2)

Lungimea coardei este 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Ar putea cititorul să rezolve problema într-un alt mod?

Referințe

1. Baldor, A. 2004. Geometria planului și a spațiului cu trigonometrie. Publicaciones Cultural S.A. de C.V. Mexic.
2. C-K12. Lungimea unei coarde. Recuperat de pe: ck12.org.
3. Escobar, J. Circumferința. Recuperat de la: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Recuperat de la: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Coarda (Geometrie). Recuperat de pe: es.wikipedia.org.