descompunere aditivă a unui număr întreg pozitiv este să-l exprimăm ca o sumă de două sau mai multe numere întregi pozitive. Astfel, avem că numărul 5 poate fi exprimat ca 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 sau 5 = 1 + 2 + 2. Fiecare dintre aceste moduri de a scrie numărul 5 este ceea ce vom numi descompunere aditivă.
Dacă acordăm atenție putem vedea că expresiile 5 = 2 + 3 și 5 = 3 + 2 reprezintă aceeași compoziție; amândoi au aceleași numere. Cu toate acestea, doar pentru comoditate, fiecare dintre completări este de obicei scris urmând criteriul de la cel mai mic la cel mai mare.
Indice articol
Ca un alt exemplu, putem lua numărul 27, pe care îl putem exprima ca:
27 = 7 + 10 + 10
27 = 9 + 9 + 9
27 = 3 + 6 + 9 + 9
27 = 9 + 18
Descompunerea aditivă este un instrument foarte util care ne permite să ne consolidăm cunoștințele despre sistemele de numerotare.
Când avem numere cu mai mult de două cifre, o modalitate specială de a le descompune este în multiplii de 10, 100, 1000, 10 000 etc., care îl compun. Acest mod de a scrie orice număr se numește descompunere aditivă canonică. De exemplu, numărul 1456 poate fi descompus după cum urmează:
1456 = 1000 + 400+ 50 + 6
Dacă avem numărul 20 846 295, descompunerea sa aditivă canonică va fi:
20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.
Datorită acestei descompuneri, putem vedea că valoarea unei cifre date este dată de poziția pe care o ocupă. Să luăm numerele 24 și 42 ca exemplu:
24 = 20 + 4
42 = 40 +2
Aici putem vedea că în 24 2 are o valoare de 20 de unități și 4 o valoare de 4 unități; pe de altă parte, în 42, 4 are o valoare de 40 de unități și 2 de două unități. Astfel, deși ambele numere utilizează aceleași cifre, valorile lor sunt total diferite datorită poziției pe care o ocupă.
Una dintre aplicațiile pe care le putem oferi descompunerii aditive este în anumite tipuri de dovezi, în care este foarte util să vedem un număr întreg pozitiv ca suma altora..
Să luăm ca exemplu următoarea teoremă cu dovezile sale respective.
- Fie Z un număr întreg din 4 cifre, atunci Z este divizibil cu 5 dacă numărul unităților sale este zero sau cinci.
Să ne amintim ce este divizibilitatea. Dacă avem numere întregi „a” și „b”, spunem că „a” împarte „b” dacă există un număr întreg „c” astfel încât b = a * c.
Una dintre proprietățile divizibilității ne spune că dacă „a” și „b” sunt divizibile cu „c”, atunci scăderea „a-b” este, de asemenea, divizibilă..
Fie Z un număr întreg din 4 cifre; de aceea putem scrie Z ca Z = ABCD.
Folosind descompunerea aditivă canonică avem:
Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D
Este clar că A * 1000 + B * 100 + C * 10 este divizibil cu 5. Din acest motiv avem că Z este divizibil cu 5 dacă Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) este divizibil cu 5.
Dar Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D și D este un număr dintr-o singură cifră, deci singura modalitate de a fi divizibil cu 5 este ca acesta să fie 0 sau 5.
Prin urmare, Z este divizibil cu 5 dacă D = 0 sau D = 5.
Rețineți că, dacă Z are n cifre, dovada este exact aceeași, se schimbă doar că acum am scrie Z = A1LADouă… LAn iar obiectivul ar fi să demonstreze că An este zero sau cinci.
Spunem că o partiție a unui număr întreg pozitiv este un mod în care putem scrie un număr ca o sumă de numere întregi pozitive.
Diferența dintre o descompunere aditivă și o partiție este că, în timp ce prima urmărește ca cel puțin să poată fi descompusă în două adaosuri sau mai multe, partiția nu are această restricție.
Astfel, avem următoarele:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 2 + 2
Cele de mai sus sunt partiții de 5.
Asta înseamnă că fiecare descompunere aditivă este o partiție, dar nu fiecare partiție este neapărat o descompunere aditivă..
În teoria numerelor, teorema fundamentală a aritmeticii garantează că fiecare număr întreg poate fi scris în mod unic ca produs al primilor.
Atunci când studiați partițiile, scopul este de a determina în câte moduri un număr întreg pozitiv poate fi scris ca suma altor numere întregi. Prin urmare, definim funcția de partiție așa cum este prezentat mai jos.
Funcția de partiție p (n) este definită ca numărul de moduri în care un număr întreg pozitiv n poate fi scris ca o sumă de numere întregi pozitive.
Revenind la exemplul lui 5, avem:
5 = 5
5 = 1 + 4
5 = 2 + 3
5 = 1 + 1 + 3
5 = 1 + 2 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 2
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
Astfel, p (5) = 7.
Ambele partiții și descompuneri aditive ale unui număr n pot fi reprezentate geometric. Să presupunem că avem o descompunere aditivă de n. În această descompunere, adunările pot fi aranjate astfel încât membrii sumei să fie ordonați de la cel mai mic la cel mai mare. Deci, bine:
n = a1 + laDouă + la3 +… + Ar cu
la1 ≤ aDouă ≤ a3 ≤… ≤ ar.
Putem grafica această descompunere în felul următor: într-un prim rând marchăm a1-puncte, apoi în următoarea notămDouă-puncte, și așa mai departe, până la atingerea unuir.
Luați de exemplu numărul 23 și următoarea descompunere a acestuia:
23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3
Comandăm această descompunere și avem:
23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7
Graficul său corespunzător ar fi:
La fel, dacă citim graficul respectiv pe verticală în loc de orizontală, putem obține o descompunere care este posibil diferită de cea anterioară. În exemplul din 23 se evidențiază următoarele:
Deci avem 23, îl putem scrie și ca:
23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.