fracții parțiale sunt fracții formate din polinoame, în care numitorul poate fi un polinom liniar sau pătratic și, în plus, poate fi ridicat la o anumită putere. Uneori, când avem funcții raționale, este foarte util să rescriem această funcție ca o sumă de fracții parțiale sau fracții simple..
Acest lucru se întâmplă deoarece, în acest fel, putem manipula aceste funcții într-un mod mai bun, mai ales în cazurile în care este necesară integrarea respectivei aplicații. O funcție rațională este pur și simplu coeficientul dintre două polinoame și pot fi corecte sau improprii.
Dacă gradul polinomului numărătorului este mai mic decât numitorul, se numește o funcție rațională propriu-zisă; în caz contrar, este cunoscută ca o funcție rațională necorespunzătoare.
Indice articol
Când avem o funcție rațională necorespunzătoare, putem împărți polinomul numărătorului la polinomul numitorului și astfel putem rescrie fracția p (x) / q (x), urmând algoritmul de divizare ca t (x) + s (x ) / q (x), unde t (x) este un polinom și s (x) / q (x) este o funcție rațională adecvată.
O fracție parțială este orice funcție proprie a polinoamelor, al cărei numitor este de forma (ax + b)n o (axDouă+ bx + c)n, dacă toporul polinomialDouă + bx + c nu are rădăcini reale și n este un număr natural.
Pentru a rescrie o funcție rațională în fracții parțiale, primul lucru pe care trebuie să-l faceți este factorul numitorului q (x) ca produs al factorilor liniari și / sau pătratici. Odată ce acest lucru este făcut, continuăm să determinăm fracțiile parțiale, care depind de natura acestor factori..
Luăm în considerare mai multe cazuri separat.
Factorii lui q (x) sunt toți lineari și niciunul nu se repetă. Și anume:
q (x) = (a1x + b1) (laDouăx + bDouă)… (lasx + bs)
Nu există niciun factor liniar identic cu altul. Când apare acest caz, vom scrie:
p (x) / q (x) = A1/(la1x + b1) + ADouă/(laDouăx + bDouă) ... + As/(lasx + bs).
Unde sa1,LADouă,… ,LAs sunt constantele pe care doriți să le găsiți.
Dorim să descompunem funcția rațională în fracții simple:
(x - 1) / (x3+3xDouă+2x)
Procedăm la factorul numitorului, adică:
X3 + 3xDouă + 2x = x (x + 1) (x + 2)
Mai tarziu:
(x - 1) / (x3+3xDouă+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Aplicând cel mai mic multiplu comun, se poate obține că:
x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
Vrem să obținem valorile constantelor A, B și C, care pot fi găsite prin înlocuirea rădăcinilor care anulează fiecare dintre termeni. Înlocuind 0 cu x avem:
0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
- 1 = 2A
A = - 1/2.
Înlocuind - 1 cu x avem:
- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
- 2 = - B
B = 2.
Înlocuind - 2 cu x avem:
- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
-3 = 2C
C = -3/2.
În acest fel se obțin valorile A = -1/2, B = 2 și C = -3/2.
Există o altă metodă pentru a obține valorile lui A, B și C. Dacă pe partea dreaptă a ecuației x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinăm termeni, avem:
x - 1 = (A + B + C) xDouă + (3A + 2B + C) x + 2A.
Deoarece aceasta este o egalitate de polinoame, avem că coeficienții din partea stângă trebuie să fie egali cu cei din partea dreaptă. Acest lucru are ca rezultat următorul sistem de ecuații:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = - 1
Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem rezultatele A = -1/2, B = 2 și C = -3/2.
În cele din urmă, înlocuind valorile obținute avem că:
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).
Factorii lui q (x) sunt toți liniari și unii se repetă. Să presupunem că (ax + b) este un factor care repetă „s” ori; apoi, acestui factor îi corespunde suma fracțiilor parțiale „s”.
LAs/ (topor + b)s + LAs-1/ (topor + b)s-1 +… + A1/ (topor + b).
În cazul în care As,LAs-1,… , LA1 sunt constantele de determinat. Cu următorul exemplu vom arăta cum să determinăm aceste constante.
Descompuneți în fracții parțiale:
(x - 1) / (xDouă(x - 2)3)
Scriem funcția rațională ca o sumă de fracții parțiale după cum urmează:
(x - 1) / (xDouă(x - 2)3) = A / xDouă + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)Două + E / (x - 2).
Mai tarziu:
x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + CxDouă + D (x - 2) xDouă + E (x - 2)DouăXDouă
Înlocuind 2 cu x, avem că:
7 = 4C, adică C = 7/4.
Înlocuind 0 cu x avem:
- 1 = -8A sau A = 1/8.
Înlocuind aceste valori în ecuația anterioară și dezvoltându-ne, avem:
x - 1 = 1/8 (x3 - 6xDouă + 12x - 8) + Bx (x3 - 6xDouă + 12x - 8) + 7 / 4xDouă +Dx3 - 2DxDouă + FostDouă(XDouă - 4x + 4)
x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) xDouă +(3/2 - 8B) x - 1.
Echivalând coeficienții, obținem următorul sistem de ecuații:
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0
3/2 - 8B = 0.
Rezolvând sistemul, avem:
B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.
Pentru aceasta, trebuie să:
(x - 1) / (xDouă(x - 2)3) = (1/8) / xDouă + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)Două - (3/16) / (x - 2).
Factorii lui q (x) sunt liniari patratici, fără factori patratici repetați. Pentru acest caz factorul pătratic (axDouă + bx + c) va corespunde fracției parțiale (Ax + B) / (axDouă + bx + c), unde constantele A și B sunt cele pe care dorim să le determinăm.
Următorul exemplu arată cum să procedați în acest caz
Descompuneți în fracții simple a (x + 1) / (x3 - 1).
Mai întâi procedăm la factorul numitorului, ceea ce ne dă ca rezultat:
(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).
Putem observa că (xDouă + x + 1) este un polinom pătratic ireductibil; adică nu are rădăcini reale. Descompunerea sa în fracții parțiale va fi după cum urmează:
(x + 1) / (x - 1) (xDouă + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (xDouă + x +1)
Din aceasta obținem următoarea ecuație:
x + 1 = (A + B) xDouă +(A - B + C) x + (A - C)
Folosind egalitatea polinoamelor, obținem următorul sistem:
A + B = 0;
AB + C = 1;
A-C = 1;
Din acest sistem avem că A = 2/3, B = - 2/3 și C = 1/3. Înlocuind, avem:
(x + 1) / (x - 1) (xDouă + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (xDouă + x +1).
În cele din urmă, cazul 4 este cel în care factorii lui q (x) sunt liniari și pătratici, unde unii dintre factorii pătratici liniari sunt repetați.
În acest caz, dacă (axDouă + bx + c) este un factor pătratic care repetă „s” ori, deci fracția parțială corespunzătoare factorului (axDouă + bx + c) va fi:
(LA1x + B) / (axDouă + bx + c) +… + (As-1x + Bs-1) / (axDouă + bx + c)s-1 + (LAsx + Bs) / (axDouă + bx + c)s
În cazul în care As, LAs-1,…, A și Bs, Bs-1,..., B sunt constantele care trebuie determinate.
Vrem să descompunem următoarea funcție rațională în fracții parțiale:
(x - 2) / (x (xDouă - 4x + 5)Două)
Ca și xDouă - 4x + 5 este un factor pătratic ireductibil, avem că descompunerea sa în fracții parțiale este dată de:
(x - 2) / (x (xDouă - 4x + 5)Două) = A / x + (Bx + C) / (xDouă - 4x +5) + (Dx + E) / (xDouă - 4x + 5)Două
Simplificând și dezvoltând, rămânem cu:
x - 2 = A (xDouă - 4x + 5)Două + (Bx + C) (xDouă - 4x + 5) x + (Dx + E) x
x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) xDouă + (- 40A + 5C + E) x + 25A.
Din cele de mai sus avem următorul sistem de ecuații:
A + B = 0;
- 8A - 4B + C = 0;
26A + 5B - 4C + D = 0;
- 40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
Când rezolvăm sistemul, rămânem cu:
A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 și E = - 3/5.
Prin substituirea valorilor obținute avem:
(x - 2) / (x (xDouă - 4x + 5)Două) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (xDouă - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (xDouă - 4x + 5)Două
Fracțiile parțiale sunt utilizate în principal pentru studiul calculului integral. În continuare vom vedea câteva exemple de cum se realizează integrale folosind fracții parțiale.
Dorim să calculăm integralul:
Putem vedea că numitorul q (x) = (t + 2)Două(t + 1) este alcătuit din factori liniari în care unul dintre aceștia se repetă; de aceea suntem în cazul 2.
Noi trebuie sa:
1 / (t + 2)Două(t + 1) = A / (t + 2)Două +B / (t + 2) + C / (t + 1)
Rescriem ecuația și avem:
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)Două
Dacă t = - 1, avem:
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
Dacă t = - 2, ne oferă:
1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)
A = - 1
Atunci, dacă t = 0:
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
Înlocuind valorile lui A și C:
1 = - 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = - 2
Din cele de mai sus avem că B = - 1.
Rescriem integralul ca:
Continuăm să o rezolvăm prin metoda de substituție:
Acesta este rezultatul:
Rezolvați următoarea integrală:
În acest caz, putem lua în calcul factorul q (x) = xDouă - 4 ca q (x) = (x - 2) (x + 2). Suntem în mod clar în cazul 1. Prin urmare:
(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)
Poate fi exprimat și ca:
5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)
Dacă x = - 2, avem:
- 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
Și dacă x = 2:
8 = A (4) + B (0)
A = 2
Astfel, rămânem cu rezolvarea integralului dat echivalează cu rezolvarea:
Acest lucru ne oferă ca rezultat:
Rezolva integral:
Avem q (x) = 9x4 + XDouă , că îl putem factoriza în q (x) = xDouă(9xDouă + 1).
De data aceasta avem un factor liniar repetat și un factor pătratic; adică suntem în cazul 3.
Noi trebuie sa:
1 / xDouă(9xDouă + 1) = A / xDouă + B / x + (Cx + D) / (9xDouă + 1)
1 = A (9xDouă + 1) + Bx (9xDouă + 1) + CxDouă + DxDouă
Grupând și folosind polinoame egale, avem:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
Din acest sistem de ecuații avem:
D = - 9 și C = 0
În acest fel, avem:
Rezolvând cele de mai sus, avem:
O aplicație interesantă a fracțiilor parțiale aplicate calculului integral se găsește în chimie, mai exact în legea acțiunii de masă.
Să presupunem că avem două substanțe, A și B, care unesc și formează o substanță C, astfel încât derivata cantității de C în raport cu timpul este proporțională cu produsul cantităților de A și B la un moment dat.
Putem exprima legea acțiunii în masă după cum urmează:
În această expresie α este numărul inițial de grame corespunzător lui A și β numărul inițial de grame corespunzător lui B.
Mai mult, r și s reprezintă numărul de grame de A și respectiv B care se combină pentru a forma r + s grame de C. La rândul său, x reprezintă numărul de grame de substanță C la momentul t, iar K este constanta proporționalității . Putem rescrie ecuația de mai sus ca:
Efectuarea următoarei modificări:
Avem că ecuația devine:
Din această expresie putem obține:
Unde, dacă a ≠ b, fracțiile parțiale pot fi utilizate pentru integrare.
Să luăm, de exemplu, o substanță C care apare din combinarea unei substanțe A cu un B, în așa fel încât legea masei să fie îndeplinită unde valorile lui a și b sunt respectiv 8 și 6. Dați o ecuație care ne oferă valoarea gramei de C în funcție de timp.
Înlocuind valorile din legea de masă dată, avem:
La separarea variabilelor avem:
Aici 1 / (8 - x) (6 - x) poate fi scris ca suma fracțiilor parțiale, după cum urmează:
Astfel, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)
Dacă substituim 6 cu x, avem B = 1/2; și înlocuind 8 cu x, avem A = - 1/2.
Integrând prin fracții parțiale avem:
Acest lucru ne oferă ca rezultat:
O altă aplicație care poate fi dată fracțiilor parțiale se află în ecuația diferențială logistică. În modele simple, se constată că rata de creștere a unei populații este proporțională cu mărimea acesteia; și anume:
Acest caz este un ideal și este considerat realist până când se întâmplă că resursele disponibile într-un sistem sunt insuficiente pentru a susține populația..
În aceste situații, cel mai rezonabil lucru este să ne gândim că există o capacitate maximă, pe care o vom numi L, pe care sistemul o poate susține și că rata de creștere este proporțională cu dimensiunea populației înmulțită cu dimensiunea disponibilă. Acest argument conduce la următoarea ecuație diferențială:
Această expresie se numește ecuația diferențială logistică. Este o ecuație diferențială separabilă care poate fi rezolvată cu metoda integrării fracției parțiale.
Un exemplu ar fi să luăm în considerare o populație care crește în conformitate cu următoarea ecuație diferențială logistică y '= 0.0004y (1000 - y), ale cărei date inițiale sunt 400. Vrem să știm mărimea populației la momentul t = 2, unde t se măsoară în ani.
Dacă scriem y 'cu notația lui Leibniz ca o funcție care depinde de t, avem:
Integrala din partea stângă poate fi rezolvată folosind metoda integrării fracției parțiale:
Putem rescrie această ultimă egalitate după cum urmează:
- Înlocuind y = 0 avem că A este egal cu 1/1000.
- Înlocuind y = 1000 avem că B este egal cu 1/1000.
Cu aceste valori integralul este după cum urmează:
Soluția este:
Utilizarea datelor inițiale:
Când curățăm și avem:
Atunci avem că la t = 2:
În concluzie, după 2 ani, dimensiunea populației este de aproximativ 597,37.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.