geometrie euclidiană corespunde studiului proprietăților spațiilor geometrice unde sunt satisfăcute axiomele lui Euclid. Deși acest termen este uneori folosit pentru a acoperi geometrii care au dimensiuni mai mari cu proprietăți similare, este în general sinonim cu geometria clasică sau geometria plană..
În secolul III a. C. Euclid și discipolii săi au scris Elemente, o lucrare care cuprindea cunoștințele matematice ale timpului dotate cu o structură logico-deductivă. De atunci geometria a devenit o știință, inițial pentru a rezolva probleme clasice și a evoluat pentru a fi o știință formativă care ajută la raționament..
Indice articol
Pentru a vorbi despre istoria geometriei euclidiene, este esențial să începeți cu Euclid din Alexandria și Elemente.
Când Egiptul a fost lăsat în mâinile lui Ptolemeu I, după moartea lui Alexandru cel Mare, și-a început proiectul într-o școală din Alexandria.
Printre înțelepții care au predat la școală s-a numărat Euclid. Se speculează că nașterea sa datează din aproximativ 325 î.Hr. C. și moartea sa din 265 a. C. Putem ști cu certitudine că a mers la școala lui Platon.
Timp de mai bine de treizeci de ani, Euclid a predat în Alexandria, construind elementele sale celebre: a început să scrie o descriere exhaustivă a matematicii timpului său. Învățăturile lui Euclid au produs discipoli excelenți, precum Arhimede și Apollonius din Perga.
Euclid a fost însărcinat cu structurarea descoperirilor disparate ale vechilor greci din Elemente, dar, spre deosebire de predecesorii săi, nu se limitează la afirmarea faptului că o teoremă este adevărată; Euclid oferă o demonstrație.
Elemente sunt un compendiu de treisprezece cărți. După Biblie, este cea mai publicată carte, cu peste o mie de ediții.
Elemente este capodopera lui Euclid în domeniul geometriei și oferă un tratament definitiv al geometriei a două dimensiuni (planul) și a trei dimensiuni (spațiul), aceasta fiind originea a ceea ce acum cunoaștem sub numele de geometrie euclidiană.
Elementele sunt alcătuite din definiții, noțiuni comune și postulate (sau axiome) urmate de teoreme, construcții și dovezi..
- Un punct este cel care nu are părți.
- O linie este o lungime care nu are lățime.
- O linie dreaptă este una care se află în mod egal în raport cu punctele care se află în aceasta.
- Dacă două linii sunt tăiate astfel încât unghiurile adiacente să fie egale, unghiurile sunt numite unghiuri drepte, iar liniile sunt numite perpendiculare.
- Liniile paralele sunt acelea care, fiind în același plan, nu se intersectează niciodată.
După aceste și alte definiții, Euclid ne prezintă o listă de cinci postulate și cinci noțiuni..
- Două lucruri care sunt egale cu un al treilea sunt egale între ele.
- Dacă aceleași lucruri sunt adăugate la aceleași lucruri, rezultatele sunt aceleași.
- Dacă lucruri egale sunt scăzute din lucruri egale, rezultatele sunt egale.
- Lucrurile care se potrivesc sunt egale unul cu celălalt.
- Totalul este mai mare decât o parte.
- O singură linie trece prin două puncte diferite.
- Liniile drepte pot fi extinse la infinit.
- Un cerc poate fi desenat cu orice centru și orice rază.
- Toate unghiurile drepte sunt egale.
- Dacă o linie dreaptă traversează două linii drepte astfel încât unghiurile interioare ale aceleiași părți să adauge mai puțin de două unghiuri drepte, atunci cele două linii se vor încrucișa pe acea parte..
Acest ultim postulat este cunoscut sub numele de postulat paralel și a fost reformulat după cum urmează: "Pentru un punct în afara unei linii, poate fi trasată o singură paralelă cu linia dată".
Iată câteva teoreme ale Elemente ele vor servi pentru a arăta proprietățile spațiilor geometrice în care sunt îndeplinite cele cinci postulate ale lui Euclid; În plus, vor ilustra raționamentul logico-deductiv pe care l-a folosit acest matematician.
Dacă două triunghiuri au două laturi și unghiul dintre ele este egal, atunci celelalte laturi și celelalte unghiuri sunt egale..
Fie ABC și A'B'C 'două triunghiuri cu AB = A'B', AC = A'C 'și unghiurile BAC și B'A'C' egale. Să mutăm triunghiul A'B'C 'astfel încât A'B' să coincidă cu AB și acel unghi B'A'C 'să coincidă cu unghiul BAC.
Deci, linia A'C 'coincide cu linia AC, astfel încât C' coincide cu C. Apoi, prin postulatul 1, linia BC trebuie să coincidă cu linia B'C '. Prin urmare, cele două triunghiuri coincid și, în consecință, unghiurile și laturile lor sunt egale.
Dacă un triunghi are două laturi egale, atunci unghiurile opuse față de aceste laturi sunt egale..
Să presupunem că triunghiul ABC are laturi egale AB și AC.
Deci triunghiurile ABD și ACD au două laturi egale, iar unghiurile dintre ele sunt egale. Astfel, prin Propoziția 1.4, unghiurile ABD și ACD sunt egale.
Puteți construi o linie paralelă cu o linie dată de un punct dat.
Având în vedere o dreaptă L și un punct P, o dreaptă M este trasată prin P și intersectează L. Apoi o linie N este trasată prin P care intersectează L. Acum, o linie N este trasată prin P care intersectează M, formând un unghi egal cu cea pe care L o formează cu M.
N este paralel cu L.
Să presupunem că L și N nu sunt paralele și se intersectează într-un punct A. Fie B un punct în L dincolo de A. Să luăm în considerare dreapta O care trece prin B și P. Apoi, O intersectează M în unghiuri care însumează mai puțin de două Drept.
Apoi, cu 1,5, dreapta O trebuie să intersecteze dreapta L de cealaltă parte a lui M, deci L și O se intersectează în două puncte, ceea ce contrazice Postulatul 1. Prin urmare, L și N trebuie să fie paralele.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.