homotecie Este o schimbare geometrică în plan în care, pornind de la un punct fix numit centru (O), distanțele sunt înmulțite cu un factor comun. În acest fel, fiecare punct P corespunde unui alt punct P 'produs al transformării, iar acestea sunt aliniate cu punctul O.
Apoi, homotezia este despre o corespondență între două figuri geometrice, unde punctele transformate sunt numite homotetice, iar acestea sunt aliniate cu un punct fix și cu segmente paralele între ele..
Indice articol
Homotezia este o transformare care nu are o imagine congruentă, deoarece dintr-o figură se vor obține una sau mai multe figuri de dimensiuni mai mari sau mai mici decât figura inițială; adică homotezia transformă un poligon în altul similar.
Pentru ca omotezia să fie îndeplinită, punct cu punct și linie cu linie trebuie să corespundă, astfel încât perechile de puncte omoloage să fie aliniate cu un al treilea punct fix, care este centrul omotei.
La fel, perechile de linii care le unesc trebuie să fie paralele. Relația dintre astfel de segmente este o constantă numită raportul de omotecie (k); în așa fel încât homotezia să poată fi definită ca:
Pentru a efectua acest tip de transformare, începem prin alegerea unui punct arbitrar, care va fi centrul homoteciei.
Din acest punct, sunt trasate segmente de linie pentru fiecare vârf al figurii care urmează să fie transformată. Scara în care se face reproducerea noii figuri este dată de raportul de omotecie (k).
Una dintre principalele proprietăți ale homoteciei este că, din motivul homotetic (k), toate figurile homotetice sunt similare. Alte proprietăți notabile includ următoarele:
- Centrul homoteciei (O) este singurul punct dublu și devine el însuși; adică nu variază.
- Liniile care trec prin centru se transformă în ele însele (sunt duble), dar punctele care îl compun nu sunt duble.
- Liniile care nu trec prin centru devin linii paralele; în acest fel, unghiurile de homotecie rămân aceleași.
- Imaginea unui segment printr-o homotezie a centrului O și a raportului k, este un segment paralel cu acesta și are k de lungimea sa. De exemplu, după cum se poate vedea în imaginea următoare, un segment AB prin homotezie va avea ca rezultat un alt segment A'B ', în așa fel încât AB va fi paralel cu A'B' și k va fi:
- Unghiurile homotetice sunt congruente; adică au aceeași măsură. Prin urmare, imaginea unui unghi este un unghi care are aceeași amplitudine.
Pe de altă parte, homotezia variază în funcție de valoarea raportului său (k) și pot apărea următoarele cazuri:
- Dacă constanta k = 1, toate punctele sunt fixe deoarece se transformă singure. Astfel, figura homotetică coincide cu cea originală și transformarea va fi numită funcție de identitate.
- Dacă k ≠ 1, singurul punct fix va fi centrul omoteticului (O).
- Dacă k = -1, homotezia devine o simetrie centrală (C); adică se va produce o rotație în jurul lui C, la un unghi de 180sau.
- Dacă k> 1, dimensiunea figurii transformate va fi mai mare decât dimensiunea originalului.
- Da 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.
- Da -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.
- Dacă k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.
Homotezia poate fi, de asemenea, clasificată în două tipuri, în funcție de valoarea raportului său (k):
Apare dacă constanta k> 0; adică punctele omotetice sunt pe aceeași parte față de centru:
Factorul de proporționalitate sau raportul de similitudine între figurile omotetice directe vor fi întotdeauna pozitive.
Apare dacă constanta k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:
Factorul de proporționalitate sau raportul de similaritate între figurile omotetice inverse vor fi întotdeauna negative.
Când se efectuează succesiv mai multe mișcări până la obținerea unei cifre egale cu originalul, apare o compoziție a mișcărilor. Compoziția mai multor mișcări este, de asemenea, o mișcare.
Compoziția dintre două homotecii are ca rezultat o nouă homotecie; adică există un produs al homoteziilor în care centrul va fi aliniat cu centrul celor două transformări originale, iar raportul (k) este produsul celor două rapoarte.
Astfel, în compoziția a două homoteci H1(SAU1, k1) si HDouă(SAUDouă, kDouă), multiplicarea rapoartelor lor: k1 x kDouă = 1 va avea ca rezultat o omoteză a raportului k3 = K1 x kDouă. Centrul acestei noi homoteci (O3) va fi amplasat pe linia O1 SAUDouă.
Homotecia corespunde unei schimbări plate și ireversibile; dacă se aplică două homotezi care au același centru și raport, dar cu un semn diferit, se va obține cifra originală.
Aplicați o omoteză poligonului dat cu centrul (O), situat la 5 cm de punctul A și al cărui raport este k = 0,7.
Orice punct este ales ca centru al homoteciei și din acest punct razele sunt trase prin vârfurile figurii:
Avem că distanța de la centru (O) la punctul A este OA = 5; Cu aceasta, se poate determina distanța unuia dintre punctele omotetice (OA '), știind, de asemenea, că k = 0,7:
OA '= k x OA.
OA '= 0,7 x 5 = 3,5.
Procesul poate fi realizat pentru fiecare vârf, sau poligonul homotetic poate fi, de asemenea, trasat amintind că cele două poligoane au laturi paralele:
În cele din urmă, transformarea arată astfel:
Aplicați o omoteză poligonului dat cu centrul (O), situat la 8,5 cm de punctul C și al cărui raport k = -2.
Distanța de la centru (O) până la punctul C este OC = 8,5; Cu aceste date este posibil să se determine distanța unuia dintre punctele homotetice (OC '), știind, de asemenea, că k = -2:
OC '= k x OC.
OC '= -2 x 8,5 = -17
După desenarea segmentelor vârfurilor poligonului transformat, punctele inițiale și homotetica lor sunt situate la capetele opuse în raport cu centrul:
Nimeni nu a comentat acest articol încă.