algebra booleană o Algebra booleană este notația algebrică utilizată pentru tratamentul variabilelor binare. Acoperă studiile oricărei variabile care are doar 2 rezultate posibile, complementare și care se exclud reciproc. De exemplu, variabilele a căror singură posibilitate este adevărată sau falsă, corectă sau incorectă, activată sau dezactivată sunt baza studiului algebrei booleene..
Algebra booleană constituie baza electronicii digitale, ceea ce o face destul de prezentă astăzi. Este guvernat de conceptul de porți logice, unde operațiunile cunoscute în algebra tradițională sunt afectate în mod special.
Indice articol
Algebra booleană a fost introdusă în 1854 de matematicianul englez George Boole (1815 - 1864), care a fost un învățat autodidact al vremii. Preocuparea sa a apărut dintr-o dispută existentă între Augustus De Morgan și William Hamilton, cu privire la parametrii care definesc acest sistem logic.
George Boole a susținut că definiția valorilor numerice 0 și 1 corespunde, în domeniul logicii, interpretării Nimic și Univers respectiv.
Intenția lui George Boole a fost de a defini, prin proprietățile algebrei, expresiile logicii propoziționale necesare pentru a face față variabilelor de tip binar.
În 1854 cele mai semnificative secțiuni ale algebrei booleene au fost publicate în cartea „O investigație a legilor gândirii pe care se bazează teoriile matematice ale logicii și probabilității ".
Acest titlu curios va fi rezumat ulterior ca „Legile gândirii ”. Titlul a devenit faimos datorită atenției imediate pe care a primit-o de la comunitatea matematică a vremii..
În 1948, Claude Shannon a aplicat-o la proiectarea circuitelor electrice de comutare bistabile. Aceasta a servit ca o introducere în aplicarea algebrei booleene în întreaga schemă electronico-digitală..
Valorile elementare din acest tip de algebră sunt 0 și 1, care corespund FALSE, respectiv TRUE. Operațiile fundamentale în algebra booleană sunt 3:
- ȘI operațiune sau conjuncție. Reprezentată printr-un punct (.). Sinonim produs.
- SAU operație sau disjuncție. Reprezentată printr-o cruce (+). Sinonim al sumei.
- NU operare sau negare. Reprezentată de prefixul NU (NU A). Cunoscut și ca complement.
Dacă într-un set A 2 legi ale compoziției interne sunt definite denotate ca produs și sumă (. +), Se spune că tripla (A. +) este o algebră booleană dacă și numai dacă tripla respectivă îndeplinește condiția de a fi o rețea distributivă.
Pentru a defini o rețea distributivă, trebuie îndeplinite condițiile de distribuție între operațiile date:
. este distributiv în raport cu suma + la . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ este distributiv în raport cu produsul. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Elementele care alcătuiesc mulțimea A trebuie să fie binare, având astfel valori de univers sau gol.
Principalul său scenariu de aplicație este ramura digitală, unde servește la structurarea circuitelor care alcătuiesc operațiunile logice implicate. Arta simplității circuitului pentru a optimiza procesele este rezultatul aplicării și practicii corecte a algebrei booleene..
De la elaborarea tablourilor electrice, trecând prin transmiterea datelor, până la programarea în diferite limbaje, putem găsi frecvent algebră booleană în tot felul de aplicații digitale..
Variabilele booleene sunt foarte frecvente în structura programării. În funcție de limbajul de programare utilizat, vor exista operațiuni structurale în cod care utilizează aceste variabile. Condiționalele și argumentele fiecărui limbaj admit variabile booleene pentru a defini procesele.
Există teoreme care guvernează legile logice structurale ale algebrei booleene. În același mod, există postulate pentru a cunoaște rezultatele posibile în diferite combinații de variabile binare, în funcție de operația efectuată..
Operatorul SAU al cărui element logic este uniunea (U) este definit pentru variabilele binare după cum urmează:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Operatorul ȘI al cărui element logic este intersecția (∩) este definit pentru variabilele binare după cum urmează:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Operatorul NU al cărui element logic este complementul (X) 'este definit pentru variabilele binare după cum urmează:
NU 0 = 1
NU 1 = 0
Multe dintre postulate diferă de omologii lor din algebra convențională. Acest lucru se datorează domeniului variabilelor. De exemplu, adăugarea elementelor universului în algebra booleană (1 + 1) nu poate produce rezultatul convențional al lui 2, deoarece nu aparține elementelor setului binar.
Orice operație simplă care implică un element cu variabilele binare, este definită:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Operațiile între variabile egale sunt definite ca:
A + A = A
LA . A = A
Orice operație între o variabilă și complementul acesteia este definită ca:
A + NU A = 1
LA . NU A = 0
Orice negație dublă va fi considerată variabila naturală.
NU (NU A) = A
A + B = B + A; Comutativitatea sumei.
LA . B = B. LA ; Comutativitatea produsului.
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Asociativitatea sumei.
LA . (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Asociativitatea produsului.
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distributivitatea sumei în raport cu produsul.
LA . (B + C) = (A. B) + (A + C); Distributivitatea produsului în raport cu suma.
Există multe legi de absorbție printre referințe multiple, unele dintre cele mai cunoscute sunt:
LA . (A + B) = A
LA . (NU A + B) = A. B
NU A (A + B) = NU A. B
(A + B). (A + NU B) = A
A + A. B = A
A + NU A. B = A + B
NU A + A. B = NU A + B
LA . B + A. NU B = A
Sunt legi de transformare, care gestionează perechi de variabile care interacționează între operațiile definite ale algebrei booleene (+.).
NU (A. B) = NU A + NU B
NU (A + B) = NU A. NU B
A + B = NU (NU A + NU B)
LA . B = NU (NU A. NU B)
Toate postulatele și teoremele posedă facultatea dualității. Aceasta implică faptul că prin schimbul de variabile și operații se verifică propoziția rezultată. Adică, atunci când se schimbă 0 cu 1 și ȘI pentru SAU sau invers; se creează o expresie care va fi, de asemenea, complet valabilă.
De exemplu, dacă luați postulatul
1. 0 = 0
Și se aplică dualitatea
0 + 1 = 1
Se obține un alt postulat perfect valid.
Harta Karnaugh este o diagramă utilizată în algebra booleană pentru a simplifica funcțiile logice. Acesta constă dintr-un aranjament bidimensional similar cu tabelele de adevăr ale logicii propoziționale. Datele din tabelele adevărului pot fi capturate direct pe harta Karnaugh.
Harta Karnaugh poate găzdui procese de până la 6 variabile. Pentru funcțiile cu un număr mai mare de variabile, se recomandă utilizarea software-ului pentru a simplifica procesul.
Propus în 1953 de Maurice Karnaugh, a fost stabilit ca un instrument fix în domeniul algebrei booleene, deoarece implementarea sa sincronizează potențialul uman cu necesitatea de a simplifica expresiile booleene, un aspect cheie în fluiditatea proceselor digitale..
Algebra booleană este utilizată pentru a reduce porțile logice într-un circuit, unde prioritatea este de a aduce complexitatea sau nivelul circuitului la cea mai mică expresie posibilă. Acest lucru se datorează întârzierii de calcul pe care o presupune fiecare poartă.
În exemplul următor vom observa simplificarea unei expresii logice la expresia sa minimă, folosind teoremele și postulatele algebrei booleene.
NU (AB + A + B). NU (A + NU B)
NU [A (B + 1) + B]. NU (A + NU B); Factorizarea A cu un factor comun.
NU [A (1) + B]. NU (A + NU B); Prin teorema A + 1 = 1.
NU (A + B). NU (A + NU B); de teorema A. 1 = A
(NU A. NU B). [ NOTĂ . NU (NU B)];
Prin teorema lui Morgan NOT (A + B) = NOT A. NU B
(NU A. NU B). (NU A. B); Prin teorema dublei negații NOT (NOT A) = A
NOTĂ . NU B. NOTĂ . B; Gruparea algebrică.
NOTĂ . NOTĂ . NU B. B; Comutativitatea produsului A. B = B. LA
NOTĂ . NU B. B; Prin teorema A. A = A
NOTĂ . 0; Prin teorema A. NU A = 0
0; Prin teorema A. 0 = 0
LA . B. C + NU A + A. NU B. C
LA . C. (B + NU B) + NU A; Factorizarea (A. C) cu factor comun.
LA . C. (1) + NU A; Prin teorema A + NU A = 1
LA . C + NU A; Prin regulă a teoremei zero și a unității 1. A = A
NU A + C ; Prin legea lui Morgan A + NU A. B = A + B
Pentru această soluție, legea lui Morgan trebuie extinsă pentru a defini:
NU (NU A). C + NU A = NU A + C
Pentru că NU (NU A) = A prin involuție.
NOTĂ . NU B. NU C + NU A. NU B. C + NU A. NU C la expresia sa minimă
NOTĂ . NU B. (NU C + C) + NU A. NU C; Factorizarea (NU A. NU B) cu factor comun
NOTĂ . NU B. (1) + NU A. NU C; Prin teorema A + NU A = 1
(NU A. NU B) + (NU A. NU C); Prin regulă a teoremei zero și a unității 1. A = A
NU A (NU B + NU C); Factorizarea NU A cu un factor comun
NOTĂ . NU (B. C); Prin legile Morgan NU (A. B) = NU A + NU B.
NU [A + (B. C)] Prin legile Morgan NU (A. B) = NU A + NU B.
Oricare dintre cele 4 opțiuni cu caractere aldine reprezintă o posibilă soluție pentru a reduce nivelul circuitului
(A. NU B. C + A. NU B. B. D + NU A. NU B). C
(A. NU B. C + A. 0. D + NU A. NU B). C; Prin teorema A. NU A = 0
(A. NU B. C + 0 + NU A. NU B). C; Prin teorema A. 0 = 0
(A. NU B. C + NU A. NU B). C; Prin teorema A + 0 = A
LA . NU B. C. C + NU A. NU B. C; Prin distributivitatea produsului în raport cu suma
LA . NU B. C + NU A. NU B. C; Prin teorema A. A = A
NU B. C (A + NU A) ; Factorizarea (NU B. C) cu factor comun
NU B. C (1); Prin teorema A + NU A = 1
NU B. C; Prin regulă a teoremei zero și a unității 1. A = A
Nimeni nu a comentat acest articol încă.