Teorema lui Bayes este o procedură care ne permite să exprimăm probabilitatea condițională a unui eveniment aleator A dat B, în ceea ce privește distribuția probabilității evenimentului B dat A și distribuția probabilității numai A.
Această teoremă este foarte utilă, întrucât datorită acesteia putem raporta probabilitatea ca un eveniment A să se știe că a avut loc B, cu probabilitatea ca opusul să apară, adică să apară B dat de A.
Teorema lui Bayes a fost o propunere de argint a Reverendului Thomas Bayes, un teolog englez din secolul al XVIII-lea care era și matematician. El a fost autorul mai multor lucrări de teologie, dar în prezent este cunoscut pentru câteva tratate matematice, printre care se menționează teorema Bayes deja menționată ca principal rezultat.
Bayes s-a ocupat de această teoremă într-o lucrare intitulată „Un eseu către rezolvarea unei probleme în Doctrina șanselor”, publicată în 1763 și despre care au fost dezvoltate numeroase studii..
Indice articol
În primul rând, pentru o mai bună înțelegere a acestei teoreme, sunt necesare câteva noțiuni de bază ale teoriei probabilității, în special teorema multiplicării pentru probabilitatea condițională, care afirmă că
Pentru E și A evenimente arbitrare ale unui spațiu eșantion S.
Și definiția partițiilor, care ne spune că dacă avem A1 ,LADouă,… , LAn evenimentele unui spațiu eșantion S, acestea vor forma o partiție a lui S, dacă Aeu se exclud reciproc și unirea lor este S.
Având în vedere acest lucru, să fie B un alt eveniment. Deci, putem vedea B ca.
În cazul în care Aeu intersectate cu B sunt evenimente care se exclud reciproc.
Și în consecință,
Apoi, aplicând teorema multiplicării
Pe de altă parte, probabilitatea condiționată de Ai dată B este definită de
Înlocuind în mod corespunzător, avem asta pentru orice i
Datorită acestui rezultat, grupurile de cercetare și diverse corporații au reușit să îmbunătățească sistemele bazate pe cunoștințe..
De exemplu, în studiul bolilor, teorema lui Bayes poate ajuta la discernerea probabilității ca o boală să se găsească la un grup de persoane cu o caracteristică dată, luând ca date ratele globale ale bolii și predominanța caracteristicilor menționate în ambele oameni sănătoși și bolnavi.
Pe de altă parte, în lumea tehnologiilor înalte, a influențat companiile mari care au dezvoltat, datorită acestui rezultat, software „bazat pe cunoaștere”.
Ca exemplu zilnic, avem asistentul Microsoft Office. Teorema lui Bayes ajută software-ul să evalueze problemele pe care le prezintă utilizatorul și să determine ce sfaturi să ofere și astfel să poată oferi un serviciu mai bun în conformitate cu obiceiurile utilizatorului.
Trebuie remarcat faptul că această formulă a fost ignorată până în ultima perioadă, acest lucru se datorează în principal faptului că atunci când acest rezultat a fost dezvoltat în urmă cu 200 de ani, existau puține utilizări practice pentru ei. Cu toate acestea, în timpul nostru, datorită marilor progrese tehnologice, oamenii de știință au găsit modalități de a pune în practică acest rezultat.
O companie de telefonie mobilă are două aparate A și B. 54% din telefoanele mobile produse sunt fabricate de aparatul A, iar restul de aparatul B. Nu toate telefoanele mobile produse sunt în stare bună.
Proporția de telefoane mobile defecte realizate de A este de 0,2 și de B este de 0,5. Care este probabilitatea ca un telefon mobil din acea fabrică să fie defect? Care este probabilitatea ca, știind că un telefon mobil este defect, să provină de la mașina A?
Soluţie
Aici, aveți un experiment care se realizează în două părți; în prima parte evenimentele apar:
A: celulă fabricată de mașina A.
B: celulă fabricată de mașina B.
Deoarece mașina A produce 54% din telefoanele mobile, iar restul sunt produse de mașina B, rezultă că mașina B produce 46% din telefoanele mobile. Sunt date probabilitățile acestor evenimente și anume:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Evenimentele din a doua parte a experimentului sunt:
D: telefon mobil defect.
E: telefon celular nedefect.
După cum se menționează în declarație, probabilitățile acestor evenimente depind de rezultatul obținut în prima parte:
P (D | A) = 0,2.
P (D | B) = 0,5.
Folosind aceste valori, probabilitățile complementelor acestor evenimente pot fi de asemenea determinate, adică:
P (E | A) = 1 - P (D | A)
= 1 - 0,2
= 0,8
Da
p (E | B) = 1 - P (D | B)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Acum, evenimentul D poate fi scris după cum urmează:
Utilizarea teoremei multiplicării pentru rezultatele probabilității condiționate:
Cu care se răspunde la prima întrebare.
Acum trebuie doar să calculăm P (A | D), pentru care se aplică teorema Bayes:
Datorită teoremei lui Bayes, se poate afirma că probabilitatea ca un telefon mobil să fi fost realizat de mașina A, știind că telefonul mobil este defect, este de 0,319.
Trei cutii conțin bile albe și negre. Compoziția fiecăruia dintre ele este după cum urmează: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.
Una dintre cutii este aleasă la întâmplare și o minge este desenată la întâmplare, care se dovedește a fi albă. Care este caseta cel mai probabil să fi fost aleasă?
Soluţie
Folosind U1, U2 și U3, vom reprezenta și caseta aleasă.
Aceste evenimente constituie o partiție a lui S și se verifică că P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 deoarece alegerea casetei este aleatorie.
Dacă B = bila trasă este albă, vom avea P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .
Ceea ce vrem să obținem este probabilitatea ca mingea să fie scoasă din cutia Ui știind că bila menționată era albă, adică P (Ui | B) și să vedem care dintre cele trei valori a fost cea mai mare de cunoscut din care cutie a fost cel mai probabil extragerea mingii albe.
Aplicarea teoremei lui Bayes la prima dintre casete:
Și pentru celelalte două:
P (U2 | B) = 2/6 și P (U3 | B) = 1/6.
Apoi, prima dintre casete este cea cu cea mai mare probabilitate de a fi fost aleasă pentru extragerea bilei albe..
Nimeni nu a comentat acest articol încă.