Teorema lui Cehiev (sau inegalitatea lui Chebyshov) este unul dintre cele mai importante rezultate clasice ale teoriei probabilităților. Permite estimarea probabilității unui eveniment descris în termeni de variabilă aleatoare X, oferindu-ne o legătură care nu depinde de distribuția variabilei aleatoare, ci de varianța lui X.
Teorema poartă numele matematicianului rus Pafnuty Chebyshov (scris și sub numele de Chebychev sau Tchebycheff) care, deși nu a fost primul care a afirmat teorema, a fost primul care a dat o dovadă în 1867.
Această inegalitate, sau cele care datorită caracteristicilor lor sunt numite inegalitatea lui Chebyshov, este utilizată în principal pentru a aproxima probabilitățile prin calcularea limitelor.
Indice articol
În studiul teoriei probabilității se întâmplă că, dacă funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este cunoscută, valoarea ei așteptată - sau așteptarea matematică E (X) - și varianța sa Var (X) pot fi calculate, atâta timp cât există astfel de cantități . Cu toate acestea, inversul nu este neapărat adevărat..
Adică, știind E (X) și Var (X) nu este neapărat posibil să se obțină funcția de distribuție a lui X, prin urmare cantități precum P (| X |> k) pentru unii k> 0 sunt foarte greu de obținut. Dar, datorită inegalității lui Chebyshov, este posibil să se estimeze probabilitatea variabilei aleatorii.
Teorema lui Chebyshov ne spune că dacă avem o variabilă aleatorie X peste un spațiu eșantion S cu o funcție de probabilitate p și dacă k> 0, atunci:
Printre numeroasele aplicații ale teoremei lui Chebyshov, pot fi menționate următoarele:
Aceasta este cea mai comună aplicație și este utilizată pentru a da o limită superioară pentru P (| X-E (X) | ≥k) unde k> 0, numai cu varianța și așteptarea variabilei aleatoare X, fără a cunoaște funcția de probabilitate.
Să presupunem că numărul de produse fabricate într-o companie pe parcursul unei săptămâni este o variabilă aleatorie cu o medie de 50.
Dacă se știe că varianța unei săptămâni de producție este egală cu 25, atunci ce putem spune despre probabilitatea ca această săptămână producția să difere cu mai mult de 10 față de media?
Aplicând inegalitatea lui Chebyshov avem:
Din aceasta putem obține că probabilitatea ca în săptămâna de producție numărul articolelor să depășească media cu peste 10 este cel mult 1/4.
Inegalitatea lui Cebișov joacă un rol important în demonstrarea celor mai importante teoreme ale limitei. De exemplu, avem următoarele:
Această lege stabilește că dată unei secvențe X1, X2,…, Xn,… a variabilelor aleatoare independente cu aceeași distribuție medie E (Xi) = μ și varianța Var (X) = σDouă, și un eșantion mediu cunoscut de:
Apoi pentru k> 0 avem:
Sau, echivalent:
Să observăm mai întâi următoarele:
Deoarece X1, X2, ..., Xn sunt independente, rezultă că:
Prin urmare, este posibil să se afirme următoarele:
Apoi, folosind teorema lui Chebyshov, avem:
În cele din urmă, teorema rezultă din faptul că limita din dreapta este zero atunci când n tinde spre infinit.
Trebuie remarcat faptul că acest test a fost făcut numai pentru cazul în care există varianța Xi; adică nu diferă. Astfel observăm că teorema este întotdeauna adevărată dacă E (Xi) există.
Dacă X1, X2,…, Xn,… este o succesiune de variabile aleatoare independente, astfel încât să existe un C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:
Deoarece secvența varianțelor este delimitată uniform, avem că Var (Sn) ≤ C / n, pentru tot n natural. Dar știm că:
Făcând n tinde spre infinit, rezultatele următoare:
Deoarece o probabilitate nu poate depăși valoarea 1, se obține rezultatul dorit. Ca o consecință a acestei teoreme am putea menționa cazul particular al lui Bernoulli.
Dacă un experiment se repetă de n ori independent cu două rezultate posibile (eșec și succes), unde p este probabilitatea de succes în fiecare experiment și X este variabila aleatorie care reprezintă numărul de succese obținute, atunci pentru fiecare k> 0 aveți la:
În ceea ce privește varianța, inegalitatea lui Chebyshov ne permite să găsim o dimensiune a eșantionului n care este suficientă pentru a garanta că probabilitatea ca | Sn-μ |> = k să fie la fel de mică pe cât dorim, ceea ce ne permite să avem o aproximare la in medie.
Tocmai, fie X1, X2, ... Xn un eșantion de variabile aleatoare independente de mărime n și să presupunem că E (Xi) = μ și varianța sa σDouă. Deci, prin inegalitatea lui Cebișov avem:
Să presupunem că X1, X2, ... Xn sunt un eșantion de variabile aleatoare independente cu distribuție Bernoulli, astfel încât să ia valoarea 1 cu probabilitatea p = 0,5.
Care ar trebui să fie dimensiunea eșantionului pentru a putea garanta că probabilitatea ca diferența dintre media aritmetică Sn și valoarea așteptată a acesteia (depășind cu mai mult de 0,1), să fie mai mică sau egală cu 0?
Avem că E (X) = μ = p = 0,5 și că Var (X) = σDouă= p (1-p) = 0,25. Prin inegalitatea lui Chebyshov, pentru orice k> 0 avem:
Acum, luând k = 0,1 și δ = 0,01, avem:
În acest fel, se concluzionează că este necesară o dimensiune a eșantionului de cel puțin 2500 pentru a garanta că probabilitatea evenimentului | Sn - 0,5 |> = 0,1 este mai mică de 0,01.
Există mai multe inegalități legate de inegalitatea lui Chebyshov. Una dintre cele mai cunoscute este inegalitatea Markov:
În această expresie X este o variabilă aleatorie non-negativă cu k, r> 0.
Inegalitatea Markov poate lua diferite forme. De exemplu, să fie Y o variabilă aleatorie non-negativă (deci P (Y> = 0) = 1) și să presupunem că E (Y) = μ există. Să presupunem, de asemenea, că (E (Y))r= μr există pentru un număr întreg r> 1. Atunci:
O altă inegalitate este Gaussian, care ne spune că dată o variabilă aleatorie unimodală X cu modul la zero, atunci pentru k> 0,
Nimeni nu a comentat acest articol încă.