Caracteristici și tipuri ale triunghiului acut

triunghiuri acute sunt cele ale căror trei unghiuri interne sunt unghiuri acute; adică măsura fiecăruia dintre aceste unghiuri este mai mică de 90 ° grade. Neavând niciun unghi drept, considerăm că teorema lui Pitagora nu se menține pentru această figură geometrică.

Prin urmare, dacă dorim să avem un anumit tip de informații despre oricare dintre laturile sau unghiurile sale, este necesar să folosim alte teoreme care ne permit să avem acces la datele menționate. Cele pe care le putem folosi sunt teorema sinusului și teorema cosinusului.

Indice articol

• 1 Caracteristici
  • 1.1 Teorema sinusului
  • 1.2 Teorema cosinusului
• 2 tipuri
  • 2.1 Triunghiuri acute echilaterale
  • 2.2 Triunghiuri acute isoscele
  • 2.3 Triunghiuri acute scalene
• 3 Rezoluția triunghiurilor acute
  • 3.1 Exemplul 1
  • 3.2 Exemplul 2

Caracteristici

Printre caracteristicile pe care le are această figură geometrică, le putem evidenția pe cele care sunt date de simplul fapt de a fi un triunghi. Printre acestea avem:

- Un triunghi este un poligon care are trei laturi și trei unghiuri.

- Suma celor trei unghiuri interne este egală cu 180 °.

- Suma a două dintre laturile sale este întotdeauna mai mare decât a treia.

Ca exemplu, să ne uităm la următorul triunghi ABC. Într-un mod general, identificăm laturile sale cu o literă mică și unghiurile sale cu o literă mare, în așa fel încât o parte și unghiul său opus să aibă aceeași literă.

Din caracteristicile date deja, știm că:

A + B + C = 180 °

a + b> c, a + c> b și b + c> a

Principala caracteristică care distinge acest tip de triunghi de restul este că, așa cum am menționat deja, unghiurile sale interne sunt acute; adică măsura fiecăruia dintre unghiurile sale este mai mică de 90 °.

Triunghiurile acute, împreună cu triunghiurile obtuse (cele în care unul dintre unghiurile lor are o măsură mai mare de 90 °), fac parte din setul triunghiurilor oblice. Acest set este alcătuit din triunghiuri care nu sunt unghiuri drepte.

Deoarece triunghiurile oblice fac parte, trebuie să putem rezolva probleme care implică triunghiuri acute, trebuie să folosim teorema sinusului și teorema cosinusului..

Teorema sinusului

Teorema sinusului ne spune că raportul dintre o latură și sinusul unghiului său opus este egal cu dublul razei cercului format de cele trei vârfuri ale triunghiului menționat. Și anume:

2r = a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C)

Teorema cosinusului

Pe de altă parte, teorema cosinusului ne oferă aceste trei egalități pentru orice triunghi ABC:

la^Două= b^Două + c^Două -2bc * cos (A)

b^Două= a^Două + c^Două -2ac * cos (B)

c^Două= a^Două + b^Două -2ab * cos (C)

Aceste teoreme sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de legea sinusului și, respectiv, legea cosinusului..

O altă caracteristică pe care o putem da triunghiurilor acute este aceea că două dintre acestea sunt egale dacă îndeplinesc oricare dintre următoarele criterii:

- Dacă au toate cele trei laturi egale.

- Dacă au o parte și două unghiuri egale între ele.

- Dacă au două laturi egale și un unghi.

Tipuri

Putem clasifica triunghiurile acute pe baza laturilor lor. Acestea ar putea fi:

Triunghiuri acute echilaterale

Sunt triunghiurile acute care au toate laturile egale și, prin urmare, toate unghiurile lor interne au aceeași valoare, care este A = B = C = 60 ° grade.

De exemplu, să luăm triunghiul următor, ale cărui laturi a, b și c au o valoare de 4.

Triunghiuri acute isoscel

Aceste triunghiuri, pe lângă faptul că au unghiuri interne acute, au caracteristica de a avea două dintre laturile lor egale și a treia, care este în general luată ca bază, diferită.

Un exemplu al acestui tip de triunghi poate fi unul a cărui bază este 3 și celelalte două laturi ale sale au o valoare de 5. Cu aceste măsurători, ar avea unghiurile opuse față de laturile egale cu valoarea de 72,55 ° și unghiul opus de baza ar fi de 34,9 °.

Triunghiuri acute scalene

Acestea sunt triunghiurile care au toate laturile diferite câte două. Prin urmare, toate unghiurile sale, pe lângă faptul că sunt mai mici de 90 °, sunt diferite de la două la două.

Triunghiul DEF (ale cărui măsuri sunt d = 4, e = 5 și f = 6 și unghiurile sale sunt D = 41,41 °, E = 55,79 ° și F = 82,8 °) este un bun exemplu de triunghi acut scalen.

Rezoluția triunghiurilor acute

După cum am spus mai înainte, pentru a rezolva probleme care implică triunghiuri acute este necesar să se utilizeze teoremele sinusului și cosinusului.

Exemplul 1

Dat fiind un triunghi ABC cu unghiuri A = 30 °, B = 70 ° și latura a = 5cm, vrem să cunoaștem valoarea unghiului C și a laturilor b și c.

Primul lucru pe care îl facem este să folosim faptul că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este de 180 °, pentru a obține valoarea unghiului C.

180 ° = A + B + C = 30 ° + 70 ° + C = 100 ° + C

Ștergem C și rămânem cu:

C = 180 ° - 100 ° = 80 °

Întrucât cunoaștem deja cele trei unghiuri și o latură, putem folosi teorema sinusului pentru a determina valoarea laturilor rămase. Prin teoremă avem:

a / sin (A) = b / sin (B) și a / sin (A) = c / (sin (C)

Izolăm b de ecuație și rămânem cu:

b = (a * sin (B)) / sin (A) ≈ (5 * 0,940) / (0,5) ≈ 9,4

Acum trebuie doar să calculăm valoarea lui c. Procedăm în același mod ca în cazul anterior:

c = (a * sin (C)) / sin (A) ≈ (5 * 0,984) / (0,5) ≈ 9,84

Astfel obținem toate datele triunghiului. După cum putem vedea, acest triunghi se încadrează în categoria triunghiului scalen acut.

Exemplul 2

Dat fiind un triunghi DEF cu laturile d = 4cm, e = 5cm și f = 6cm, vrem să cunoaștem valoarea unghiurilor triunghiului menționat.

Pentru acest caz vom folosi legea cosinusului, care ne spune că:

d^Două= e^Două + F^Două - 2efcos (D)

Din această ecuație putem rezolva pentru cos (D), care ne dă ca rezultat:

Cos (D) = ((4)^Două - (5)^Două -(6)^Două) / (- 2 * 5 * 6) = 0,75

Prin urmare, avem D≈ 41,41 °

Acum folosind teorema senomului avem următoarea ecuație:

d / (sin (D) = e / (sin (E)

Rezolvând păcatul (E), avem:

sin (E) = e * sin (D) / d = (5 * 0,66) / 4 ≈ 0,827

Prin urmare, avem E≈55,79 °

În cele din urmă, folosind faptul că suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este de 180 °, avem acel F≈82,8 °.

1. Landaverde, F. d. (1997). Geometrie (Reprint ed.). Progres.
2. Leake, D. (2006). Triunghiuri (ed. Ilustrată). Heinemann-Raintree.
3. Leal G. Juan Manuel. (2003). Geometrie metrică plană.CODEPRE
4. Ruiz, Á. Și Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologia CR.
5. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.