Caracteristicile triunghiului isoscel, formula și aria, calculul

A triunghi isoscel este un poligon cu trei laturi, unde două dintre ele au aceeași măsură și a treia parte o măsură diferită. Această ultimă latură se numește bază. Datorită acestei caracteristici i s-a dat acest nume, care în greacă înseamnă „picioare egale”

Triunghiurile sunt poligoane considerate cele mai simple în geometrie, deoarece sunt alcătuite din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. Acestea sunt cele care au cel mai mic număr de laturi și unghiuri față de celelalte poligoane, cu toate acestea utilizarea lor este foarte extinsă.

Indice articol

• 1 Caracteristicile triunghiurilor isosceli
  • 1.1 Componente
• 2 Proprietăți
  • 2.1 Unghiuri interne
  • 2.2 Suma laturilor
  • 2.3 Partile congruente
  • 2.4 Unghiuri congruente
  • 2.5 Înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea sunt coincidente
  • 2.6 Înălțimi relative
  • 2.7 Ortocentrul, baricentrul, incentrul și circumcentrul coincident
• 3 Cum se calculează perimetrul?
• 4 Cum se calculează înălțimea?
• 5 Cum se calculează aria?
• 6 Cum se calculează baza triunghiului?
• 7 Exerciții
  • 7.1 Primul exercițiu
  • 7.2 Al doilea exercițiu
  • 7.3 Al treilea exercițiu
• 8 Referințe

Caracteristicile triunghiurilor isosceli

Triunghiul isoscel a fost clasificat folosind măsurarea laturilor sale ca parametru, deoarece două dintre laturile sale sunt congruente (au aceeași lungime).

Pe baza amplitudinii unghiurilor interioare, triunghiurile isoscele sunt clasificate ca:

• Triunghi dreptunghiular isoscel: două dintre laturile sale sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este drept (90^sau) și celelalte sunt la fel (45^sau fiecare)
• Triunghi obtuz isoscel: două dintre laturile sale sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este obtuz (> 90^sau).
• Triunghi acut isoscel: două dintre laturile sale sunt egale. Toate unghiurile sale sunt acute (< 90^sau), unde doi au aceeași măsură.

Componente (editați)

• Median: este o linie care începe din punctul de mijloc al unei părți și ajunge la vârful opus. Cele trei mediane converg într-un punct numit baricentr sau centroid..
• Bisector: este o rază care împarte unghiul fiecărui vârf în două unghiuri de măsură egală. De aceea este cunoscut sub numele de axa de simetrie și acest tip de triunghiuri are doar unul.
• Mediatrixul: este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care își are originea în mijlocul triunghiului. Există trei mediatori într-un triunghi și se întâlnesc într-un punct numit circumcentrul.
• Inaltimea: este linia care merge de la vârf la partea opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi, care coincid într-un punct numit ortocentrul..

Proprietăți

Triunghiurile isoscel sunt definite sau identificate deoarece au mai multe proprietăți care le reprezintă, provenind din teoremele propuse de marii matematicieni:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interioare este întotdeauna egală cu 180^sau.

Suma laturilor

Suma măsurilor celor două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia laturi, a + b> c.

Părți congruente

Triunghiurile isoscele au două laturi cu aceeași măsură sau lungime; adică sunt congruente și a treia parte este diferită de acestea.

Unghiuri congruente

Triunghiurile isoscel sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de triunghiuri izoangulare, deoarece au două unghiuri care au aceeași măsură (congruentă). Acestea sunt situate la baza triunghiului, opuse laturilor care au aceeași lungime.

Datorită acestui fapt, a fost generată teorema care afirmă că:

„Dacă un triunghi are două laturi congruente, unghiurile opuse acestor laturi vor fi, de asemenea, congruente.” Prin urmare, dacă un triunghi este isoscel, unghiurile bazelor sale sunt congruente.

Exemplu:

Următoarea figură arată un triunghi ABC. Trăgând bisectoarea de la vârful unghiului B la bază, triunghiul este împărțit în două triunghiuri egale BDA și BDC:

În acest fel, unghiul vârfului B a fost, de asemenea, împărțit în două unghiuri egale. Bisectoarea este acum partea comună (BD) dintre cele două noi triunghiuri, în timp ce laturile AB și BC sunt laturile congruente. Astfel avem cazul laturii de congruență, unghiului, laturii (LAL).

Acest lucru arată că unghiurile vârfurilor A și C au aceeași măsură, precum și se poate arăta că, din moment ce triunghiurile BDA și BDC sunt congruente, laturile AD și DC sunt, de asemenea, congruente..

Înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea sunt coincidente

Linia trasată de la vârful opus bazei până la punctul mediu al bazei triunghiului isoscel, este în același timp înălțimea, mediana și bisectoarea, precum și bisectoarea în raport cu unghiul opus al bazei..

Toate aceste segmente coincid într-unul care le reprezintă.

Exemplu:

Următoarea figură arată triunghiul ABC cu un punct mediu M care împarte baza în două segmente BM și CM.

Prin trasarea unui segment de la punctul M la vârful opus, prin definiție se obține AM mediană, care este relativă la vârful A și latura BC.

Deoarece segmentul AM împarte triunghiul ABC în două triunghiuri egale AMB și AMC, înseamnă că se va avea cazul laturii, unghiului, laturii de congruență și, prin urmare, AM va fi și bisectoarea lui BÂC.

Prin urmare, bisectoarea va fi întotdeauna egală cu mediana și invers..

Segmentul AM formează unghiuri care au aceeași măsură pentru triunghiurile AMB și AMC; adică sunt suplimentare în așa fel încât măsura fiecăruia să fie:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180^sau

Două _* Med. (AMC) = 180^sau

Med. (AMC) = 180^sau ÷ 2

Med. (AMC) = 90^sau

Se poate ști că unghiurile formate de segmentul AM față de baza triunghiului sunt drepte, ceea ce indică faptul că acest segment este total perpendicular pe bază..

Prin urmare, reprezintă înălțimea și bisectoarea, știind că M este punctul de mijloc.

Prin urmare, linia AM:

• Reprezintă la înălțimea BC.
• Este de mărime medie.
• Este conținut în bisectoarea BC.
• Este bisectoarea unghiului vârfului Â

Înălțimi relative

Înălțimile care sunt relative la laturile egale au, de asemenea, aceeași măsurare.

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, cele două înălțimi ale acestora vor fi, de asemenea, egale..

Ortocentrul, baricentrul, incinerul și circumcentrul coincident

Deoarece înălțimea, mediana, bisectoarea și bisectoarea față de bază, sunt reprezentate în același timp de același segment, ortocentrul, baricentrul central și circumcentrul vor fi puncte coliniare, adică vor fi pe aceeași linie:

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon se calculează prin adăugarea laturilor.

Ca și în acest caz, triunghiul isoscel are două laturi cu aceeași măsură, perimetrul său se calculează cu următoarea formulă:

P = 2_*(partea a) + (partea b).

Cum se calculează înălțimea?

Înălțimea este linia perpendiculară pe bază, împarte triunghiul în două părți egale pe măsură ce se extinde la vârful opus.

Înălțimea reprezintă piciorul opus (a), mijlocul bazei (b / 2) piciorul adiacent și partea „a” reprezintă hipotenuza.

Folosind teorema lui Pitagora, se poate determina valoarea înălțimii:

la^Două + b^Două = c^Două

Unde:

la^Două = înălțime (h).

b^Două = b / 2.

c^Două = latura a.

Înlocuind aceste valori în teorema lui Pitagora și rezolvând înălțimea, avem:

h^Două + (b / Două)^Două = la^Două

h^Două + b^Două / 4 = la^Două

h^Două = la^Două - b^Două / 4

h = √ (la^Două - b^Două / 4).

Dacă unghiul format de laturile congruente este cunoscut, înălțimea poate fi calculată cu următoarea formulă:

Cum se calculează suprafața?

Aria triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind baza de ori înălțimea și împărțind la două:

Există cazuri în care se cunosc doar măsurătorile a două laturi ale triunghiului și unghiul format între ele. În acest caz, pentru a determina aria este necesar să se aplice raporturile trigonometrice:

Cum se calculează baza triunghiului?

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, pentru a determina valoarea bazei sale este necesar să se cunoască cel puțin măsura înălțimii sau a unuia dintre unghiurile sale.

Cunoscând înălțimea, se folosește teorema lui Pitagora:

la^Două + b^Două = c^Două

Unde:

la^Două = înălțime (h).

c^Două = latura a.

b^Două = b / 2, este necunoscut.

Rezolvăm pentru b^Două a formulei și trebuie să:

b^Două = a^Două - c^Două

b = √ a^Două - c^Două

Deoarece această valoare corespunde cu jumătate din bază, trebuie înmulțită cu două pentru a obține măsura completă a bazei triunghiului isoscel:

b = 2 _* (√ a^Două - c^Două)

În cazul în care doar valoarea laturilor sale egale și unghiul dintre ele sunt cunoscute, se aplică trigonometria, trasând o linie de la vârf la bază care împarte triunghiul isoscel în două triunghiuri dreptunghiulare.

În acest fel, jumătate din bază se calculează cu:

De asemenea, este posibil să se cunoască doar valoarea înălțimii și unghiului vârfului care este opus bazei. În acest caz, prin trigonometrie, baza poate fi determinată:

Instruire

Primul exercițiu

Găsiți aria triunghiului isoscel ABC, știind că două dintre laturile sale au 10 cm și a treia parte are 12 cm.

Soluţie

Pentru a găsi aria triunghiului, este necesar să se calculeze înălțimea folosind formula ariei care este legată de teorema lui Pitagora, deoarece valoarea unghiului format între laturile egale nu este cunoscută.

Avem următoarele date despre triunghiul isoscel:

• Fețe egale (a) = 10 cm.
• Baza (b) = 12 cm.

Valorile sunt substituite în formula:

Al doilea exercițiu

Lungimea celor două laturi egale ale unui triunghi isoscel este de 42 cm, unirea acestor laturi formează un unghi de 130^sau. Determinați valoarea celei de-a treia părți, aria triunghiului respectiv și perimetrul.

Soluţie

În acest caz, sunt cunoscute măsurătorile laturilor și unghiul dintre ele..

Pentru a cunoaște valoarea laturii lipsă, adică baza acelui triunghi, se trasează o linie perpendiculară pe acesta, împărțind unghiul în două părți egale, una pentru fiecare triunghi dreptunghiular care este format.

• Părți egale (a) = 42 cm.
• Unghiul (Ɵ) = 130^sau

Acum, prin trigonometrie, se calculează valoarea a jumătate din bază, care corespunde cu jumătate din hipotenuză:

Pentru a calcula aria este necesar să cunoaștem înălțimea acelui triunghi care poate fi calculat prin trigonometrie sau prin teorema lui Pitagora, acum că valoarea bazei a fost deja determinată.

Prin trigonometrie va fi:

Perimetrul se calculează:

P = 2_*(partea a) + (partea b).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Al treilea exercițiu

Calculați unghiurile interne ale triunghiului isoscel, știind că unghiul bazei este  = 55^sau

Soluţie

Pentru a găsi cele două unghiuri lipsă (Ê și Ô) este necesar să ne amintim două proprietăți ale triunghiurilor:

• Suma unghiurilor interioare ale fiecărui triunghi va fi întotdeauna = 180^sau:

 + Ê + Ô = 180 ^sau

• Într-un triunghi isoscel unghiurile bazei sunt întotdeauna congruente, adică au aceeași măsură, prin urmare:

 = Ô

Ê = 55^sau

Pentru a determina valoarea unghiului Ê, înlocuim valorile celorlalte unghiuri din prima regulă și rezolvăm pentru Ê:

55^sau + 55^sau + Ô = 180 ^sau

110 ^sau + Ô = 180 ^sau

Ô = 180 ^sau - 110 ^sau

Ô = 70 ^sau.

Referințe

1. Álvarez, E. (2003). Elemente de geometrie: cu numeroase exerciții și geometria busolei. Universitatea din Medellin.
2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desen tehnic: carte de activitate.
3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementară. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebră și trigonometrie cu geometrie analitică. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebră. Havana: Cultură.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematica 2.
7. Tuma, J. (1998). Manual de inginerie matematică. Wolfram MathWorld.