distribuție binomială este o distribuție de probabilitate prin care se calculează probabilitatea apariției evenimentelor, cu condiția ca acestea să apară în două modalități: succes sau eșec.
Aceste desemnări (succes sau eșec) sunt complet arbitrare, deoarece nu înseamnă neapărat lucruri bune sau rele. În timpul acestui articol vom indica forma matematică a distribuției binomiale și apoi semnificația fiecărui termen va fi explicată în detaliu.
Indice articol
Ecuația este următoarea:
Cu x = 0, 1, 2, 3… .n, unde:
- P (x) este probabilitatea de a avea exact X succese între n încercări sau încercări.
- X este variabila care descrie fenomenul de interes, corespunzător numărului de succese.
- n numărul de încercări
- p este probabilitatea de succes într-o încercare
- ce este probabilitatea de eșec într-o încercare, prin urmare q = 1 - p
Semnul exclamării „!” este folosit pentru notația factorială, deci:
0! = 1
1! = 1
Două! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Și așa mai departe.
Distribuția binomială este foarte potrivită pentru a descrie situațiile în care apare sau nu un eveniment. Dacă apare, este un succes și dacă nu, atunci este un eșec. În plus, probabilitatea de succes trebuie să rămână întotdeauna constantă..
Există fenomene care se potrivesc acestor condiții, de exemplu aruncarea unei monede. În acest caz, putem spune că „succesul” înseamnă a obține o față. Probabilitatea este ½ și nu se schimbă, indiferent de câte ori este aruncată moneda..
Lansarea unei matrițe oneste este un alt exemplu bun, precum și clasificarea unei anumite producții în bucăți bune și bucăți defecte și obținerea unui roșu în loc de un negru atunci când se rotește o ruletă..
Putem rezuma caracteristicile distribuției binomiale după cum urmează:
- Orice eveniment sau observație este extrasă dintr-o populație infinită fără înlocuire sau dintr-o populație finită cu înlocuire.
- Sunt luate în considerare doar două opțiuni care se exclud reciproc: succesul sau eșecul, așa cum s-a explicat la început.
- Probabilitatea de succes trebuie să fie constantă în orice observație care se face.
- Rezultatul oricărui eveniment este independent de orice alt eveniment.
- Media distribuției binomiale este n.p
- Abaterea standard este:
Să luăm un eveniment simplu, care ar putea fi obținerea a 2 capete 5 prin aruncarea unei mori oneste de 3 ori. Care este probabilitatea ca în 3 aruncări să se obțină 2 capete de 5?
Există mai multe modalități de a realiza acest lucru, de exemplu:
- Primele două rulouri sunt 5, iar ultima nu.
- Primul și ultimul sunt 5, dar nu cel din mijloc.
- Ultimele două aruncări sunt 5 și prima nu.
Să luăm prima secvență descrisă ca exemplu și să calculăm probabilitatea sa de apariție. Probabilitatea de a obține 5 capete la prima rundă este 1/6 și, de asemenea, la a doua rundă, deoarece acestea sunt evenimente independente.
Probabilitatea de a obține un alt cap, altul decât 5 pe ultima rundă este 1 - 1/6 = 5/6. Prin urmare, probabilitatea ca această secvență să apară este produsul probabilităților:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Dar celelalte două secvențe? Au aceeași probabilitate: 0,023.
Și din moment ce avem un total de 3 secvențe de succes, probabilitatea totală va fi:
P (2 capete 5 în 3 aruncări) = Numărul de secvențe posibile x probabilitatea unei anumite secvențe = 3 x 0,023 = 0,069.
Acum să încercăm binomul, în care se face:
x = 2 (obținerea a 2 capete de 5 în 3 aruncări este succes)
n = 3
p = 1/6
q = 5/6
Există mai multe moduri de a rezolva exercițiile de distribuție binomială. După cum am văzut, cel mai simplu poate fi rezolvat numărând câte secvențe de succes există și apoi înmulțind cu probabilitățile respective.
Cu toate acestea, atunci când există multe opțiuni, numerele devin mai mari și este de preferat să utilizați formula.
Și dacă numerele sunt chiar mai mari, există tabele ale distribuției binomiale. Cu toate acestea, acum sunt învechite în favoarea multor tipuri de calculatoare care facilitează calculul..
Un cuplu are copii cu o probabilitate de 0,25 de a avea sânge de tip O. Cuplul are în total 5 copii. Răspuns: a) Această situație se potrivește cu o distribuție binomială? B) Care este probabilitatea ca exact 2 dintre ele să fie de tip O?
a) Distribuția binomială este ajustată, întrucât îndeplinește condițiile stabilite în secțiunile anterioare. Există două opțiuni: a avea sânge de tip O este „succes”, în timp ce a nu-l avea este „eșec” și toate observațiile sunt independente..
b) Avem distribuția binomială:
x = 2 (obțineți 2 copii cu sânge de tip O)
n = 5
p = 0,25
q = 0,75
O universitate susține că 80% dintre studenții din echipa de baschet a facultății absolvesc. O investigație examinează evidența academică a 20 de studenți aparținând respectivei echipe de baschet care s-au înscris la universitate cu ceva timp în urmă.
Dintre acești 20 de studenți, 11 și-au terminat studiile și 9 au abandonat studiile.
Dacă afirmația universității este adevărată, numărul de studenți care joacă baschet și absolvesc, din 20, ar trebui să aibă o distribuție binomială cu n = 20 Da p = 0,8. Care este probabilitatea ca exact 11 din cei 20 de jucători să absolvească??
În distribuția binomială:
x = 11
n = 20
p = 0,8
q = 0,2
Cercetătorii au efectuat un studiu pentru a determina dacă au existat diferențe semnificative în ratele de absolvire între studenții la medicină admiși prin programe speciale și studenții la medicină admiși prin criterii regulate de admitere..
Rata de absolvire sa dovedit a fi de 94% pentru studenții la medicină admiși prin programe speciale (pe baza datelor din Jurnalul Asociației Medicale Americane).
Dacă 10 dintre studenții din programele speciale sunt selectați aleatoriu, găsiți probabilitatea ca cel puțin 9 dintre ei să absolvească.
b) Ar fi neobișnuit să selectați aleatoriu 10 studenți din programe speciale și să constatați că doar 7 dintre ei au absolvit??
Probabilitatea ca un student admis printr-un program special să absolvească este de 94/100 = 0,94. Sunt alese n = 10 studenți din programe speciale și doriți să aflați probabilitatea ca cel puțin 9 dintre ei să absolvească.
Următoarele valori sunt apoi înlocuite în distribuția binomială:
x = 9
n = 10
p = 0,94
b)
Nimeni nu a comentat acest articol încă.