Are o matrice ortogonală atunci când respectiva matrice înmulțită cu transpunerea sa rezultă în matricea identității. Dacă inversul unei matrice este egal cu transpunerea, atunci matricea originală este ortogonală.
Matricile ortogonale au caracteristica că numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. De asemenea, vectorii de rând sunt vectori ortogonali de unitate și vectorii de rând de transpunere sunt, de asemenea.
Când o matrice ortogonală este înmulțită cu vectorii unui spațiu vectorial, ea produce o transformare izometrică, adică o transformare care nu schimbă distanțele și păstrează unghiurile.
Un reprezentant tipic al matricilor ortogonale sunt matrici de rotație. Se numesc transformările matricilor ortogonale pe un spațiu vectorial transformări ortogonale.
Transformările geometrice de rotație și reflectare a punctelor reprezentate de vectorii lor cartezieni se efectuează prin aplicarea matricilor ortogonale pe vectorii originali pentru a obține coordonatele vectorilor transformați. Din acest motiv, matricile ortogonale sunt utilizate pe scară largă în procesarea grafică de calcul..
Indice articol
O matrice M este ortogonală dacă este înmulțită cu transpunerea sa MT returnează matricea de identitate Eu. În mod similar, produsul transpunerii unei matrice ortogonale de către matricea originală are ca rezultat matricea identității:
M MT = MT M = eu
Ca o consecință a afirmației anterioare, avem că transpunerea unei matrice ortogonale este egală cu matricea sa inversă:
MT = M-1.
Ansamblul matricilor ortogonale de dimensiuni n x n formează grupul ortogonal Pe). Și subsetul de Pe) a matricilor ortogonale cu determinant +1 formează Grup de matrici speciale unitare SU (n). Matricile grupului SU (n) sunt matrici care produc transformări liniare de rotație, cunoscute și sub numele de grup de rotații.
Să arătăm că o matrice este ortogonală dacă și numai dacă vectorii de rând (sau vectorii de coloană) sunt ortogonali între ei și ai normei 1.
Să presupunem că rândurile unei matrice ortogonale n x n sunt n vectori ortonormali de dimensiune n. Dacă este notat cu v1, vDouă,…., Vn cei n vectori sunt satisfăcuți:
Unde este evident că într-adevăr setul de vectori rând este un set de vectori ortogonali cu norma unu.
Arătați că matricea 2 x 2 care în primul său rând are vectorul v1= (-1 0) și în al doilea rând vectorul v2= (0 1) este o matrice ortogonală.
Soluţie: Matricea este construită M iar transpunerea sa este calculată MT:
În acest exemplu, matricea M este auto-transpusă, adică matricea și transpunerea ei sunt identice. Se înmulțește M prin transpunerea sa MT:
Se verifică că M MT este egal cu matricea identității:
Când matricea M se înmulțește cu coordonatele unui vector sau punct, se obțin noi coordonate care corespund transformării pe care matricea o face pe vector sau punct.
Figura 1 arată cum M transforma vectorul sau pe sau' și, de asemenea, cum M transformă poligonul albastru în poligonul roșu. Ce M este ortogonală este apoi o transformare ortogonală, care păstrează distanțele și unghiurile.
Să presupunem că aveți o matrice 2 x 2 definită în realele date de următoarea expresie:
Găsiți valorile reale ale la, b, c Da d astfel încât matricea M fie o matrice ortogonală.
Soluţie: Prin definiție, o matrice este ortogonală dacă înmulțită cu transpunerea sa se obține matricea de identitate. Amintindu-ne că matricea transpusă se obține din originalul, schimbând rânduri cu coloane, se obține următoarea egalitate:
Realizarea multiplicării matricei avem:
Echivalând elementele matricei stângi cu elementele matricei identității din dreapta, obținem un sistem de patru ecuații cu patru necunoscute a, b, c și d.
Propunem următoarele expresii pentru a, b, c și d în ceea ce privește raporturile trigonometrice sinus și cosinus:
Cu această propunere și datorită identității trigonometrice fundamentale, prima și a treia ecuație sunt satisfăcute automat în egalitatea elementelor matricei. A treia și a patra ecuație sunt aceleași și în egalitate matricială după înlocuirea valorilor propuse arată astfel:
ceea ce duce la următoarea soluție:
În cele din urmă, se obțin următoarele soluții pentru matricea ortogonală M:
Rețineți că prima dintre soluții are determinant +1, deci aparține grupului SU (2), în timp ce a doua soluție are determinant -1 și, prin urmare, nu aparține acestui grup.
Având în vedere următoarea matrice, găsiți valorile lui a și b astfel încât să avem o matrice ortogonală.
Soluţie: Pentru ca o matrice dată să fie ortogonală, produsul cu transpunerea sa trebuie să fie matricea de identitate. Apoi, se realizează produsul matricial al matricei date cu matricea sa transpusă, rezultând următorul rezultat:
Apoi, rezultatul este echivalat cu matricea de identitate 3 x 3:
În al doilea rând, a treia coloană avem (a b = 0), dar la nu poate fi zero, pentru că dacă da, egalitatea elementelor din al doilea rând și coloana a doua nu ar fi îndeplinită. Atunci neapărat b = 0. Înlocuind b pentru valoarea 0 avem:
Apoi ecuația este rezolvată: 2a ^ 2 = 1, ale căror soluții sunt: + ½√2 și -½√2.
Luând soluția pozitivă pentru la se obține următoarea matrice ortogonală:
Cititorul poate verifica cu ușurință dacă vectorii de rând (și, de asemenea, vectorii de coloană) sunt ortogonali și unitari, adică ortonormali.
Dovediți că matricea LA ai căror vectori de rând sunt v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) Da v3 = (0 0 -1) este o matrice ortogonală. În plus, aflați cum se transformă vectorii bazei canonice I J K la vectori u1, u2 Da u3.
Soluţie: Trebuie amintit că elementul (i, j) al unei matrice înmulțit cu transpunerea sa este produsul punct al vectorului rândului (i) cu cel al coloanei (j) al transpunerii. În plus, acest produs este egal cu delta Kronecker în cazul în care matricea este ortogonală:
În cazul nostru, arată astfel:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Cu care se arată că este o matrice ortogonală.
Mai mult u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) și în cele din urmă u3 = A k = (0, 0, -1)
Nimeni nu a comentat acest articol încă.