unghiul înscris al unui cerc Este una care are vârful pe circumferință și razele sale sunt secante sau tangente la aceasta. În consecință, unghiul înscris va fi întotdeauna convex sau plat..
În figura 1 sunt reprezentate mai multe unghiuri inscripționate în circumferințele lor respective. Unghiul ∠EDF este inscripționat având vârful D pe circumferință și cele două raze [DE) și [DF) care intersectează circumferința.
În mod similar, unghiul ∠HGI este inscripționat, având vârful pe circumferință și laturile sale secante.
Unghiurile ∠KJR și ∠UST sunt, de asemenea, inscripționate pe circumferință. Prima are o latură secantă și cealaltă tangentă, în timp ce a doua are cele două laturi tangente la circumferință, formând un unghi inscripționat plan (180º).
Unii autori numesc unghiul semi-inscripționat pe care unul dintre laturile sale îl are tangent la circumferință, dar în acest articol este considerat inscripționat..
Fiecare unghi inscris definește sau subtinde un arc asociat cu acesta. De exemplu, în figura 2 unghiul inscripționat ∠ABC subtinde arcul A⌒C de lungime d.
Aceeași figură arată unghiul ∠DOE, care nu este înscris în circumferință deoarece vârful său nu are circumferința sa, ci în centrul O.
Indice articol
Pe lângă unghiul înscris, într-o circumferință, unghiul central, care este cel al cărui vârf este în centrul circumferinței și ale cărui laturi intersectează circumferința.
Măsura în radiani a unui unghi central este coeficientul dintre arcul subtendent, adică arcul de circumferință dintre laturile unghiului și raza circumferinței.
Dacă circumferința este unitară (de rază 1), atunci lungimea arcului în aceleași unități de rază este măsura unghiului în radiani.
Și când este necesară măsurarea unghiului în grade, atunci măsurarea în radiani este înmulțită cu factorul 180º / π.
Instrumentele de măsurare a unghiurilor utilizează întotdeauna un unghi central, iar lungimea arcului subtins de acesta este calibrată direct în grade. Aceasta înseamnă că ori de câte ori se măsoară un unghi, în fundal ceea ce se măsoară este lungimea arcului subtins de unghiul central.
Măsura unui unghi inscripționat este jumătate din măsurarea unghiului central, dacă ambele unghiuri subtend același arc.
În figura 4 sunt prezentate două unghiuri ∠ABC și ∠AOC, care intersectează același arc de circumferință A⌒C.
Dacă măsura unghiului înscris este α, atunci măsura β a unghiului central este de două ori măsura unghiului înscris (β = 2 α) deoarece ambele subtend același arc de măsură d.
Pentru a demonstra teorema 1, vom începe prin a arăta mai multe cazuri particulare, până când vom ajunge la cazul general.
Să presupunem un unghi inscripționat, în care una dintre laturile sale trece prin centrul circumferinței, așa cum se arată în figura 5.
În acest caz, triunghiul isoscel COB este format, deoarece [OC] = [OB].
Într-un triunghi isoscel, unghiurile adiacente bazei sunt egale, deci ∠BCO = ∠ABC = α. Pe de altă parte ∠COB = 180º - β.
Având în vedere suma unghiurilor interne ale triunghiului COB, avem:
α + α + (180º - β) = 180º
Din care rezultă că 2 α = β, sau ceea ce este echivalent: α = β / 2. Acest lucru coincide cu ceea ce afirmă teorema 1: măsura unghiului înscris este jumătate din unghiul central, dacă ambele unghiuri subtend același acord [AC].
În acest caz, avem un unghi inscripționat ∠ABC, în care centrul O al circumferinței este în interiorul unghiului.
Pentru a demonstra teorema 1 în acest caz, se trasează raza auxiliară [BO), astfel încât să avem două unghiuri inscripționate ∠ABO și ∠OBC adiacente razei menționate.
În mod similar, avem unghiurile centrale β1 și βDouă adiacente razei respective. În acest fel avem aceeași situație ca și în proba 1a, deci se poate afirma că αDouă = βDouă / 2 și α1 = β1 /Două. Deoarece α = α1 + αDouă și β = β1 + βDouă prin urmare, rezultă că α = α1 + αDouă = β1 / 2 + pDouă / 2 = (β1 + βDouă) / 2 = β / 2.
În concluzie α = β / 2, care îndeplinește teorema 1.
Dacă două sau mai multe unghiuri inscripționate subtend același arc, atunci acestea au aceeași măsură.
Unghiurile inscripționate care subtend acorduri de aceeași măsură sunt egale.
Arătați că unghiul înscris care subtinde diametrul este un unghi drept.
Unghiul central ∠AOB asociat cu diametrul este un unghi plan, a cărui măsură este de 180º.
Conform teoremei 1, fiecare unghi inscripționat în circumferința care subtinde același acord (în acest caz diametrul) are ca măsură jumătate din unghiul central care subtend același acord, care pentru exemplul nostru este de 180º / 2 = 90º.
Linia (BC) tangentă la A la circumferința C, determină unghiul înscris ∠BAC (vezi figura 10).
Verificați dacă teorema 1 a unghiurilor inscripționate este îndeplinită.
Unghiul ∠BAC este inscripționat deoarece vârful său este pe circumferință, iar laturile sale [AB) și [AC) sunt tangente la circumferință, deci definiția unghiului inscris este îndeplinită.
Pe de altă parte, unghiul inscripționat ∠BAC subtinde arcul A, A, care este întreaga circumferință. Unghiul central care subtendează arcul A⌒A este un unghi convex a cărui măsură este unghiul complet (360º).
Unghiul inscris care subtinde întregul arc măsoară jumătate din unghiul central asociat, adică ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
Cu toate cele de mai sus, se verifică faptul că acest caz particular îndeplinește teorema 1.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.