Istoricul numerelor iraționale, proprietăți, clasificare, exemple

2609
Sherman Hoover

numere irationale sunt cei a căror expresie zecimală are cifre infinite fără un model care se repetă, prin urmare, nu pot fi obținute făcând coeficientul dintre oricare două numere întregi.

Printre cele mai cunoscute numere iraționale se numără:

Figura 1. De sus în jos următoarele numere iraționale: pi, numărul lui Euler, raportul auriu și două rădăcini pătrate. Sursa: Pixabay.

Dintre acestea, fără îndoială, π (pi) este cel mai familiar, dar există multe altele. Toate aparțin setului de numere reale, care este setul numeric care grupează numere raționale și iraționale..

Elipsa din figura 1 indică faptul că zecimalele continuă la infinit, ceea ce se întâmplă este că spațiul calculatoarelor obișnuite permite doar afișarea câtorva.

Dacă privim cu atenție, ori de câte ori facem coeficientul dintre două numere întregi, obținem o zecimală cu cifre limitate sau dacă nu, cu cifre infinite în care se repetă una sau mai multe. Ei bine, acest lucru nu se întâmplă cu numerele iraționale..

Indice articol

  • 1 Istoria numerelor iraționale
  • 2 Proprietățile numerelor iraționale
  • 3 Amplasarea unui număr irațional pe linia reală
  • 4 Clasificarea numerelor iraționale
    • 4.1 Numere algebrice
    • 4.2 Numere transcendente
  • 5 Exercițiu
    • 5.1 Răspuns
  • 6 Referințe

Istoria numerelor iraționale

Marele matematician antic Pitagora, născut în 582 î.Hr. în Samos, Grecia, a fondat școala de gândire pitagorică și a descoperit celebra teoremă care îi poartă numele. O avem aici, în stânga (poate babilonienii o știau deja cu mult timp înainte).

Figura 2. Teorema lui Pitagora aplicată unui triunghi cu laturile egale cu 1. Sursa: Pixabay / Wikimedia Commons.

Ei bine, când Pitagora (sau probabil un discipol al său) a aplicat teorema unui triunghi dreptunghiular cu laturi egale cu 1, a găsit numărul irațional √2.

El a făcut-o astfel:

c = √1Două + 1Două = √1 + 1 = √2

Și imediat și-a dat seama că acest nou număr nu provine din coeficientul dintre alte două numere naturale, care erau cele cunoscute în acel moment.

De aceea a numit-o iraţional, iar descoperirea a provocat o mare anxietate și confuzie în rândul pitagoreicilor.

Proprietățile numerelor iraționale

-Mulțimea tuturor numerelor iraționale este notată cu litera I și uneori cu Q * sau QC. Unirea dintre numerele iraționale I sau Q * și numerele raționale Q, dă naștere la mulțimea numerelor reale R.

-Cu numere iraționale, se pot efectua operații aritmetice cunoscute: adunare, scădere, multiplicare, divizare, împuternicire și multe altele.

-Împărțirea cu 0 nu este, de asemenea, definită între numere iraționale.

-Suma și produsul dintre numerele iraționale nu este neapărat un alt număr irațional. De exemplu:

√2 x √8 = √16 = 4

Iar 4 nu este un număr irațional.

-Cu toate acestea, suma unui număr rațional plus un număr irațional are ca rezultat un irațional. În acest fel:

1 + √2 = 2.41421356237 ...

-Produsul unui număr rațional altul decât 0 cu un număr irațional este, de asemenea, irațional. Să vedem acest exemplu:

2 x √2 = 2.828427125 ...

-Inversul unui irațional are ca rezultat un alt număr irațional. Să încercăm câteva:

1 / √2 = 0.707106781 ...

1 / √3 = 0.577350269 ...

Aceste numere sunt interesante deoarece reprezintă și valorile unor raporturi trigonometrice ale unghiurilor cunoscute. Majoritatea raporturilor trigonometrice sunt numere iraționale, dar există excepții, cum ar fi sin 30º = 0,5 = ½, care este rațional.

-În plus, proprietățile comutative și asociative sunt îndeplinite. Dacă a și b sunt două numere iraționale, aceasta înseamnă că:

a + b = b + a.

Și dacă c este un alt număr irațional, atunci:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Proprietatea distributivă a înmulțirii în ceea ce privește adunarea este o altă proprietate binecunoscută care deține și numerele iraționale. În acest caz:

a. (b + c) = a.b + a.c.

-Un a irațional are opusul său: -a. Când sunt adăugate, rezultatul este 0:

a + (- a) = 0

-Între două raționale diferite, există cel puțin un număr irațional.

Localizarea unui număr irațional pe linia reală

Linia reală este o linie orizontală în care se află numerele reale, din care iraționalele sunt o parte importantă.

Pentru a găsi un număr irațional pe linia reală, în formă geometrică, putem folosi teorema lui Pitagora, o riglă și o busolă.

De exemplu, vom localiza √5 pe linia reală, pentru care desenăm un triunghi dreptunghiular cu laturile x = 2 Da y = 1, după cum arată imaginea:

Figura 3. Metoda de localizare a unui număr irațional pe linia reală. Sursa: F. Zapata.

Prin teorema lui Pitagora, hipotenuza unui astfel de triunghi este:

c = √2Două + 1Două = √4 + 1 = √5

Acum busola este plasată cu punctul la 0, unde se află și unul dintre vârfurile triunghiului dreptunghiular. Punctul creionului busolei trebuie să fie la vârful A.

Se trasează un arc de circumferință care taie la linia reală. Deoarece distanța dintre centrul circumferinței și orice punct de pe aceasta este raza, care este egală cu √5, punctul de intersecție este, de asemenea, departe de √5 de centru.

Din grafic se poate observa că √5 este între 2 și 2,5. Un calculator ne oferă valoarea aproximativă a:

√5 = 2.236068

Și astfel, prin construirea unui triunghi cu laturile corespunzătoare, pot fi localizate alte iraționale, cum ar fi √7 și altele.

Clasificarea numerelor iraționale

Numerele iraționale sunt clasificate în două grupe:

-Algebric

-Transcendent sau transcendental

Numere algebrice

Numerele algebrice, care pot fi sau nu iraționale, sunt soluții ale ecuațiilor polinomiale a căror formă generală este:

lan Xn + lan-1Xn-1 + lan-2Xn-2 +…. + a1x + asau = 0

Un exemplu de ecuație polinomială este o ecuație pătratică ca aceasta:

X3 - 2x = 0

Este ușor să arătăm că numărul irațional √2 este una dintre soluțiile acestei ecuații.

Numere transcendente

Pe de altă parte, numerele transcendente, deși sunt iraționale, nu apar niciodată ca soluție a unei ecuații polinomiale.

Numerele transcendente găsite cel mai frecvent în matematica aplicată sunt π, datorită relației sale cu circumferința și numărul e, sau numărul lui Euler, care este baza logaritmilor naturali..

Exercițiu

Un pătrat gri este plasat pe un pătrat negru în poziția indicată în figură. Se știe că suprafața pătratului negru este de 64 cmDouă. Cât sunt lungimile ambelor pătrate?

Figura 4. Două pătrate, dintre care dorim să găsim lungimea laturilor. Sursa: F. Zapata.

Răspuns

Aria unui pătrat cu latura L este:

A = LDouă

Deoarece pătratul negru are 64 cmDouă de suprafață, latura sa ar trebui să fie de 8 cm.

Această măsurare este aceeași cu diagonala a pătratului gri. Aplicând teorema lui Pitagora la această diagonală și ne amintim că laturile unui pătrat măsoară la fel, vom avea:

8Două = LgDouă + LgDouă

Unde Lg este partea pătratului gri.

Prin urmare: 2LgDouă = 8Două

Aplicarea rădăcinii pătrate pe ambele părți ale egalității:

Lg = (8 / √2) cm

Referințe

  1. Carena, M. 2019. Manual pre-universitar de matematică. Universitatea Națională a Litoralului.
  2. Figuera, J. 2000. Matematica a 9-a. Grad. Ediții CO-BO.
  3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice hall.
  4. Portal educațional. Numere iraționale și proprietățile lor. Recuperat de pe: portaleducativo.net.
  5. Wikipedia. Numere irationale. Recuperat de pe: es.wikipedia.org.

Nimeni nu a comentat acest articol încă.