poligoane regulate sunt cele care au toate laturile și unghiurile lor interne egale. În figura următoare există un set de poligoane diferite, care sunt figuri plane limitate de o curbă închisă și numai cele evidențiate îndeplinesc condițiile pentru a fi regulate.
De exemplu, triunghiul echilateral este un poligon regulat, deoarece cele trei laturi ale acestuia măsoară la fel, precum și unghiurile sale interne, care valorează 60 ° fiecare..
Pătratul este un patrulater cu patru laturi de măsură egală și ale cărui unghiuri interne sunt de 90º. Este urmat de pentagonul regulat, cu cinci laturi de dimensiuni egale și cinci unghiuri interne de 108º fiecare..
Când un poligon este regulat, acest cuvânt este adăugat la numele său special, deci avem hexagonul regulat, heptagonul regulat și așa mai departe.
Indice articol
Cele mai importante proprietăți ale poligoanelor obișnuite pot fi rezumate după cum urmează:
-Părțile măsoară la fel, de aceea sunt echilateral.
-Sunt echiangular, întrucât toate unghiurile sale interne au aceeași măsură.
-Ele pot fi întotdeauna inscripționate într-o circumferință, ceea ce înseamnă că se încadrează perfect în una, care se numește circumferinta circumscrisa.
-Pentru un poligon regulat cu n laturi, măsura unui unghi interior α este:
α = [180 (n-2)] / n
-Puteți desena n (n-3) / 2 diagonale din vârfurile unui poligon, indiferent dacă este regulat sau nu.
-Suma unghiuri exterioare este egal cu 360º.
În continuare prezentăm principalele elemente ale unui poligon regulat, vizualizat în figura de mai jos.
Punct comun pe care îl au două laturi consecutive, notat ca V în figură.
Este segmentul care unește două vârfuri consecutive ale poligonului și este notat ca ℓ sau L.
Segment care unește două vârfuri non-consecutive ale poligonului, în figură este notat ca. d.
Este centrul comun al cercului înscris și al cercului circumscris, notat cu litera O. Poate fi văzut și ca singurul punct echidistant atât de la vârfuri, cât și la punctele medii ale fiecărei părți..
Este radioul r a cercului circumscris și coincide cu distanța dintre O și un vârf.
Se numeste apotemă la raza circumferinței înscrisă în poligon, reprezentată în figură cu o literă la. Apotema este perpendiculară pe o parte și o unește cu centrul O (segment roșu în figura 3).
Cunoscând raza r și lungimea laturii, apotema se calculează prin:
Deoarece, de fapt, apotema este una dintre picioarele unui triunghi dreptunghiular (a se vedea figura 3), cealaltă picior fiind valoarea lui ℓ / 2 (jumătate de latură) și hipotenuza raza r a poligonului.
Când teorema lui Pitagora se aplică triunghiului menționat, se obține această ecuație, care este valabilă nu numai pentru hexagon, ci pentru orice poligon regulat.
Este unghiul al cărui vârf coincide cu centrul O și ale cărui laturi sunt segmentele care unesc centrul cu două vârfuri consecutive. Măsura sa în grade sexagesimale este de 360º / n, unde n este numărul laturilor poligonului.
Este diferența dintre raza poligonului și apotema (vezi figura 3). Notând sagitta ca S:
S = r - a
Se calculează ușor adăugând lungimile laturilor. Deoarece orice latură are lungimea egală L și există n laturi, perimetrul P este exprimat ca:
P = n.L
Într-un poligon regulat, aria A este dată de produsul dintre semi-perimetru (jumătate din perimetru) și lungimea apotemului la.
A = P.a / 2
Deoarece perimetrul depinde de numărul de laturi n, se dovedește că:
A = (nL) .a / 2
Două poligoane regulate pot avea același perimetru chiar dacă nu au același număr de laturi, deoarece ar depinde apoi de lungimea laturilor.
În cartea V a lui Colectie, matematicianul Pappus din Alexandria (290-350), ultimul dintre marii matematicieni greci antici, a arătat că dintre toate poligoanele regulate cu același perimetru, cel cu cea mai mare suprafață este cel cu cel mai mare număr de laturi.
Figura 4 prezintă unghiurile relevante într-un poligon regulat, notat cu literele grecești α, β și γ.
Anterior am menționat unghiul central, între elementele poligonului regulat, este unghiul al cărui vârf se află în centrul poligonului, iar laturile sunt segmentele care unesc centrul cu două vârfuri consecutive..
Pentru a calcula măsura unghiului central α, împărțiți 360º la n, numărul laturilor. Sau 2π radiani între n:
α = 360º / n
Echivalent în radiani cu:
α = 2π / n
În figura 4 unghiul intern β este cel al cărui vârf coincide cu una dintre figuri, iar laturile sale sunt și laturile figurii. Se calculează în grade sexagesimale prin:
β = [180 (n-2)] / n
Sau în radiani folosind:
β = [π (n-2)] / n
Sunt notate cu litera greacă γ. Figura arată că γ + β = 180º. Prin urmare:
γ = 180º - β
Suma tuturor unghiurilor externe față de un poligon regulat este de 360 °.
În continuare avem primii 8 poligoane regulate. Observăm că odată cu creșterea numărului de laturi, poligonul seamănă din ce în ce mai mult cu circumferința în care sunt înscrise.
Ne putem imagina că, făcând lungimea laturilor din ce în ce mai mică și mărind numărul acestora, obținem circumferința.
Poligoanele regulate se găsesc peste tot în viața de zi cu zi și chiar în natură. Să vedem câteva exemple:
Poligoane regulate precum triunghiuri echilaterale, pătrate și romburi abundă în semnalizarea pe care o vedem pe autostrăzi și drumuri. În figura 6 vedem un semn de oprire cu o formă octogonală.
Nenumărate piese de mobilier au pătratul, de exemplu, ca figură geometrică caracteristică, la fel de multe mese, scaune și bănci sunt pătrate. Un paralelipiped este, în general, o cutie cu laturile în formă de dreptunghi (care nu este un poligon regulat), dar pot fi făcute și pătrate..
Plăcile de pe podele și pereți, atât în case, cât și pe străzi, au adesea forma unor poligoane obișnuite..
Teselările sunt suprafețe acoperite în întregime cu plăci care au forme geometrice diferite. Cu triunghiul, pătratul și hexagonul puteți face teselări regulate, cele care folosesc doar un singur tip de figură pentru a acoperi perfect, fără a lăsa spații goale (a se vedea figura 6).
La fel, clădirile folosesc poligoane obișnuite în elemente precum ferestre și decorațiuni..
În mod surprinzător, hexagonul obișnuit este un poligon care apare frecvent în natură..
Fagurii făcuți de albine pentru a depozita mierea sunt modelate foarte aproape de un hexagon obișnuit. După cum a observat Pappus din Alexandria, în acest fel albinele optimizează spațiul pentru a depozita cât mai multă miere..
Și există, de asemenea, hexagoane obișnuite în coaja țestoaselor și fulgilor de zăpadă, care adoptă, de asemenea, diverse forme geometrice foarte frumoase..
Un hexagon regulat este înscris într-un semicerc cu raza de 6 cm, așa cum se arată în figură. Care este valoarea zonei umbrite?
Aria umbrită este diferența dintre aria semicercului cu raza R = 6 cm și aria întregului hexagon, un poligon regulat pe 6 fețe. Deci, vom avea nevoie de formule pentru aria fiecăreia dintre aceste figuri.
LA1 = π RDouă / 2 = π (6 cm)Două / 2 = 18π cmDouă
Formula pentru a calcula aria unui poligon regulat este:
A = P.a / 2
Unde P este perimetrul și la este apotema. Deoarece perimetrul este suma laturilor, vom avea nevoie de valoarea acestora. Pentru hexagonul obișnuit:
P = 6ℓ
Prin urmare:
A = 6ℓa / 2
Pentru a găsi valoarea laturii ℓ este necesar să construim figuri auxiliare, pe care le vom explica mai jos:
Să începem cu micul triunghi dreptunghi din stânga, a cărui hipotenuză este ℓ. Unghiul intern al hexagonului este egal cu:
α = [180 (n-2)] / n = α = [180 (6-2)] / 6 = 120º
Raza pe care am trasat-o în verde împarte acest unghi, de aceea unghiul acut al triunghiului mic este de 60º. Cu informațiile furnizate, acest triunghi este rezolvat, găsind partea albastră deschisă, care măsoară la fel ca apotema:
Picior opus = a = ℓ x sin 60º = ℓ√3 / 2 cm
Această valoare este dublul a piciorului albastru închis al triunghiului mare din dreapta, dar din acest triunghi știm că hipotenuza măsoară 6 cm deoarece este raza semicercului. Piciorul rămas (partea de jos) este egal cu ℓ / 2, deoarece punctul O se află în mijlocul părții laterale.
Deoarece unghiurile interioare ale acestui triunghi nu sunt cunoscute, putem enunța teorema lui Pitagora pentru aceasta:
36 = 3 ℓDouă + ℓDouă / 4
(13/4) ℓDouă = 36 → ℓ = √ (4 x36) / 13 cm = 12 / √13 cm
Cu această valoare se calculează apotema:
a = ℓ√3 / 2 cm = (12 / √13) x (√3 / 2) cm = 6√3 / √13 cm
Hai sa sunămDouă la zona hexagonului obișnuit:
= 28,8 cmDouă
LA1 - LADouă = 18π cmDouă - 28,8 cmDouă = 27,7 cmDouă
Nimeni nu a comentat acest articol încă.