proprietățile egalității se referă la relația dintre două obiecte matematice, fie că sunt numere sau variabile. Este notat cu simbolul "=", care merge întotdeauna în mijlocul acestor două obiecte. Această expresie este utilizată pentru a stabili că două obiecte matematice reprezintă același obiect; într-un alt cuvânt, că două obiecte sunt același lucru.
Există cazuri în care este banal să folosești egalitatea. De exemplu, este clar că 2 = 2. Cu toate acestea, când vine vorba de variabile, nu mai este banal și are utilizări specifice. De exemplu, dacă avem acel y = x și pe de altă parte x = 7, putem concluziona că și y = 7.
Exemplul de mai sus se bazează pe una dintre proprietățile egalității, așa cum veți vedea în scurt timp. Aceste proprietăți sunt esențiale pentru rezolvarea ecuațiilor (egalități care implică variabile), care formează o parte foarte importantă în matematică..
Indice articol
Proprietatea reflexivă, în cazul egalității, afirmă că fiecare număr este egal cu el însuși și este exprimat ca b = b pentru orice număr real b.
În cazul particular al egalității, această proprietate pare a fi evidentă, dar în alte tipuri de relații între numere nu este. Cu alte cuvinte, nu orice relație de număr real îndeplinește această proprietate. De exemplu, un astfel de caz al relației „mai puțin de” (<); ningún número es menor que sí mismo.
Proprietatea simetrică pentru egalitate spune că dacă a = b, atunci b = a. Nu contează ordinea utilizată în variabile, va fi păstrată de relația de egalitate.
O anumită analogie a acestei proprietăți cu proprietatea comutativă poate fi observată în cazul adăugării. De exemplu, datorită acestei proprietăți este echivalent cu scrierea y = 4 sau 4 = y.
Proprietatea tranzitivă privind egalitatea afirmă că dacă a = b și b = c, atunci a = c. De exemplu, 2 + 7 = 9 și 9 = 6 + 3; prin urmare, prin proprietatea tranzitivă avem că 2 + 7 = 6 + 3.
O aplicație simplă este următoarea: să presupunem că Julian are 14 ani și că Mario are aceeași vârstă ca Rosa. Dacă Rosa are aceeași vârstă ca Julian, câți ani are Mario?
În spatele acestui scenariu proprietatea tranzitivă este utilizată de două ori. Matematic se interpretează astfel: „a” să fie vârsta lui Mario, „b” vârsta lui Rosa și „c” vârsta lui Julian. Se știe că b = c și că c = 14.
Prin proprietatea tranzitivă avem că b = 14; adică Rosa are 14 ani. Deoarece a = b și b = 14, folosind din nou proprietatea tranzitivă avem că a = 14; adică și vârsta lui Mario are 14 ani.
Proprietatea uniformă este că, dacă ambele părți ale unei egalități sunt adăugate sau înmulțite cu aceeași cantitate, egalitatea este păstrată. De exemplu, dacă 2 = 2, atunci 2 + 3 = 2 + 3, ceea ce este clar, deoarece 5 = 5. Această proprietate este cea mai utilă atunci când se încearcă rezolvarea unei ecuații.
De exemplu, să presupunem că vi se cere să rezolvați ecuația x-2 = 1. Este convenabil să ne amintim că rezolvarea unei ecuații constă în determinarea explicită a variabilei (sau variabilelor) implicate, pe baza unui număr specific sau a unei variabile specificate anterior..
Revenind la ecuația x-2 = 1, ceea ce trebuie să faceți este să găsiți în mod explicit cât valorează x. Pentru aceasta, variabila trebuie ștearsă.
S-a învățat în mod greșit că, în acest caz, deoarece numărul 2 este negativ, acesta trece la cealaltă parte a egalității cu un semn pozitiv. Dar nu este corect să o spui așa.
Practic, ceea ce faceți este să aplicați proprietatea uniformă, așa cum vom vedea mai jos. Ideea este să ștergeți „x”; adică lăsați-l singur pe o parte a ecuației. Prin convenție, este de obicei lăsat pe partea stângă.
În acest scop, numărul de „eliminat” este -2. Modalitatea de a face acest lucru ar fi prin adăugarea 2, deoarece -2 + 2 = 0 și x + 0 = 0. Pentru a putea face acest lucru fără a modifica egalitatea, aceeași operație trebuie aplicată cealaltă parte.
Aceasta îi permite să realizeze proprietatea uniformă: deoarece x-2 = 1, dacă numărul 2 este adăugat pe ambele părți ale egalității, proprietatea uniformă spune că nu este modificată. Apoi avem acel x-2 + 2 = 1 + 2, care este echivalent cu a spune că x = 3. Cu aceasta ecuația ar fi rezolvată.
În mod similar, dacă doriți să rezolvați ecuația (1/5) y-1 = 9, puteți continua folosind proprietatea uniformă după cum urmează:
Mai general, se pot face următoarele afirmații:
- Dacă a-b = c-b, atunci a = c.
- Dacă x-b = y, atunci x = y + b.
- Dacă (1 / a) z = b, atunci z = a ×
- Dacă (1 / c) a = (1 / c) b, atunci a = b.
Proprietatea de anulare este un caz particular al proprietății uniforme, având în vedere în special cazul de scădere și împărțire (care, în principiu, corespund și adunării și multiplicării). Această proprietate tratează acest caz separat.
De exemplu, dacă 7 + 2 = 9, atunci 7 = 9-2. Sau dacă 2y = 6, atunci y = 3 (împărțind la două pe ambele părți).
În mod similar cu cazul anterior, prin proprietatea de anulare se pot stabili următoarele declarații:
- Dacă a + b = c + b, atunci a = c.
- Dacă x + b = y, atunci x = y-b.
- Dacă az = b, atunci z = b / a.
- Dacă ca = cb, atunci a = b.
Dacă cunoaștem valoarea unui obiect matematic, proprietatea de substituție afirmă că această valoare poate fi substituită în orice ecuație sau expresie. De exemplu, dacă b = 5 și a = bx, atunci înlocuind valoarea lui „b” în a doua egalitate avem că a = 5x.
Un alt exemplu este următorul: dacă "m" împarte "n" și, de asemenea, "n" împarte "m", atunci trebuie să aibă acel m = n.
Într-adevăr, a spune că „m” împarte „n” (sau echivalent, că „m” este un divizor al „n”) înseamnă că diviziunea m ÷ n este exactă; adică împărțirea „m” la „n” dă un număr întreg, nu o zecimală. Acest lucru poate fi exprimat spunând că există un număr întreg "k" astfel încât m = k × n.
Deoarece „n” împarte și „m”, atunci există un număr întreg „p” astfel încât n = p × m. Datorită proprietății de substituție, avem că n = p × k × n și, pentru ca acest lucru să se întâmple, există două posibilități: n = 0, caz în care am avea identitatea 0 = 0; sau p × k = 1, deci identitatea n = n.
Să presupunem că „n” este diferit de zero. Atunci neapărat p × k = 1; prin urmare, p = 1 și k = 1. Folosind din nou proprietatea de substituție, când substituim k = 1 în egalitatea m = k × n (sau echivalent, p = 1 în n = p × m) obținem în cele din urmă acel m = n, ceea ce am vrut să demonstrăm.
La fel cum anterior s-a văzut că dacă o operație cum ar fi adunarea, înmulțirea, scăderea sau împărțirea se face în ambii termeni ai unei egalități, se păstrează, în același mod pot fi aplicate și alte operații care nu modifică o egalitate..
Cheia este să o efectuați întotdeauna pe ambele părți ale egalității și să vă asigurați în prealabil că operația poate fi efectuată. Acesta este cazul împuternicirii; adică, dacă ambele părți ale unei ecuații sunt ridicate la aceeași putere, avem totuși o egalitate.
De exemplu, din moment ce 3 = 3, deci 3Două= 3Două (9 = 9). În general, dat un număr întreg "n", dacă x = y, atunci xn= șin.
Acesta este un caz particular de împuternicire și se aplică atunci când puterea este un număr rațional non-întreg, cum ar fi ½, care reprezintă rădăcina pătrată. Această proprietate afirmă că, dacă aceeași rădăcină este aplicată ambelor părți ale egalității (ori de câte ori este posibil), egalitatea este păstrată.
Spre deosebire de cazul anterior, trebuie să se acorde atenție aici parității rădăcinii care trebuie aplicată, deoarece se știe că rădăcina pare a unui număr negativ nu este bine definită.
În cazul în care radicalul este egal, nu există nicio problemă. De exemplu, dacă x3= -8, deși este o egalitate, nu puteți aplica o rădăcină pătrată pe ambele părți, de exemplu. Cu toate acestea, dacă puteți aplica o rădăcină cubică (ceea ce este și mai convenabil dacă doriți să cunoașteți în mod explicit valoarea lui x), obținând astfel că x = -2.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.