solid al revoluției Este figura tridimensională care este generată prin rotirea unei suprafețe plane în jurul axei axiale sau axului de revoluție. Figura 1 prezintă o animație a unui solid de revoluție generat în acest fel.
Un alt exemplu foarte ușor de vizualizat constă în generarea unui cilindru circular drept, rotirea unui dreptunghi de înălțime sau lungime h și rază r, în jurul axei x pozitive (figura 2). Pentru a găsi volumul său există o formulă bine-cunoscută:
V = aria bazei x înălțimea
Alte solide de revoluție sunt sfera, conul circular drept și diferite figuri, în funcție de suprafața pusă în rotație și, desigur, de axa selectată..
De exemplu, rotirea semicercului în jurul unei linii paralele cu diametrul dă un solid de revoluție goală.
Pentru cilindru, con, sferă, atât solidă, cât și goală, există formule pentru a găsi volumul, care depinde de rază și înălțime. Dar când sunt generate de alte suprafețe, volumul este calculat de integrale definite.
Indice articol
Solidele de revoluție pot fi clasificate în funcție de curba care le generează:
Este suficient să rotiți un semicerc în jurul unei axe care va avea diametrul sferei de rază R. Volumul său este:
Vsferă = (4/3) πR3
Pentru a obține un con de înălțime H și rază R, suprafața care trebuie rotită este un triunghi dreptunghiular, în jurul axei axiale care trece printr-unul dintre picioare. Volumul său este:
Vcon = (1/3) πHRDouă
Rotind un dreptunghi în jurul unei axe axiale care trece prin una dintre laturi, care poate fi partea scurtă sau cea lungă, obținem un cilindru circular drept cu raza R și înălțimea H, al cărui volum este:
Vcilindru = πRDouăH
Torul are forma unei gogoși. Se obține prin rotirea unei regiuni circulare în jurul unei linii în plan care nu intersectează cercul. Volumul său este dat de:
Vtorus = 2πaDouăR
Unde a este raza secțiunii transversale și R este raza torului conform schemei prezentate în figură:
În calculul integral aceste două metode sunt frecvente:
-Discuri și șaibe
-Cochilii
Când tăiați un solid de revoluție, secțiunea transversală poate fi un disc, dacă solidul este solid sau poate fi un fel de șaibă (un disc cu o gaură în mijloc), dacă este un solid gol..
Să presupunem că o regiune plană este rotită în jurul axei orizontale. Din această regiune plană luăm un mic dreptunghi cu lățimea Δx, care este rotit perpendicular în jurul axei axiale.
Înălțimea dreptunghiului este între curba exterioară R (x) și curba cea mai interioară r (x). Ele corespund razei exterioare și respectiv razei interioare..
Prin efectuarea acestei rotații se generează o șaibă de volum ofV, dată de:
ΔV = Volumul complet - volumul găurii (dacă există)
Amintindu-ne că volumul unui cilindru circular drept este π. radioDouă x înălțime, avem:
ΔV = π [RDouă(x) - rDouă(x)] Δx
Solidul poate fi împărțit într-o multitudine de porțiuni de volum mic ΔV. Dacă le adăugăm pe toate, vom avea volumul complet.
Pentru a face acest lucru, facem ca volumul ΔV să tindă la 0, cu care și Δx devine foarte mic, devenind un dx diferențial.
Deci avem o integrală:
V = ∫lab π [RDouă(x) - rDouă(x)] dx
În cazul în care solidul este solid, atunci funcția r (x) = 0, felia de solid care este generată este un disc și volumul rămâne:
V = ∫lab πRDouă(x) dx
Când axa de revoluție este verticală, ecuațiile de mai sus iau forma:
V = ∫lab π [RDouă (y) - rDouă (y)] dy y V = ∫lab πRDouă(y) dy
După cum sugerează și numele, această metodă constă în presupunerea că solidul este format din straturi de grosime diferențială. Stratul este un tub subțire care provine din rotația unui dreptunghi paralel cu axa de rotație.
Avem următoarele dimensiuni:
-Înălțimea dreptunghiului w
-Longitudinea sa h
-Distanța de la centrul dreptunghiului la axa de rotație p
Știind că volumul stratului este volum exterior - volum interior:
π (p + w / 2)Douăh - π (p - w / 2)Douăh
Dezvoltând produse remarcabile și simplificând, veți obține:
Volumul stratului = 2π⋅p⋅w⋅h
Acum să facem înălțimea w a dreptunghiului Δy, așa cum se vede în figura următoare:
Cu aceasta, volumul ΔV este:
ΔV = 2π p x h x Δy
Și creând numărul de straturi n este foarte mare, Δy devine un dy diferențial, cu care volumul total este integral:
V = ∫cd 2π p (y) h (y) dy
Procedura descrisă se aplică în mod similar atunci când axa de rotație este verticală:
Găsiți volumul generat de rotația regiunii plane între curbe:
y = xDouă; y = 0; x = 2
În jurul axei y.
-Primul lucru pe care trebuie să-l facem este să reprezentăm grafic regiunea care va genera solidul revoluției și va indica axa de rotație. Îl avem în următorul grafic:
-Acum căutăm intersecțiile dintre curba y = xDouă iar linia x = 2. La rândul său, linia y = 0 nu este alta decât axa x.
Din grafic este ușor de văzut că parabola și linia se intersectează în punctul (2,4), care este coroborat prin substituirea x = 2 în y = xDouă.
-Apoi se alege una dintre metodele de calcul al volumului, de exemplu metoda stratului cu axa verticală de revoluție:
V = ∫lab 2π p (x) h (x) dx
Important: În metoda de stratificare, partea lungă a dreptunghiului este paralelă cu axa de rotație.
Raza stratului este X
Înălțimea dreptunghiului este determinată de parabola xDouă.
Variabila de integrare este x, care variază între 0 și 2, cu aceasta avem limitele integrării. Înlocuirea expresiilor pentru p (x) și h (x)
Nimeni nu a comentat acest articol încă.