Suma Riemann este numele dat calculului aproximativ al unei integrale definite, prin intermediul unei însumări discrete cu un număr finit de termeni. O aplicație obișnuită este aproximarea ariei de funcții pe un grafic.
Matematicianul german Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) a oferit mai întâi o definiție riguroasă a integralei unei funcții într-un interval dat. El a făcut-o cunoscută într-un articol publicat în 1854.
Suma Riemann este definită pe o funcție y = f (x), cu x aparținând intervalului închis [a, b]. Pe acest interval se face o partiție P de n elemente:
P = x0= a, x1, XDouă,..., Xn= b
Aceasta înseamnă că intervalul este împărțit după cum urmează:
Xk-1 ≤ tk ≤ xk
Figura 1 prezintă grafic suma Riemann a funcției f pe intervalul [x0, X4] pe o partiție de patru subintervale, dreptunghiurile gri.
Suma reprezintă aria totală a dreptunghiurilor și rezultatul acestei sume aproximează numeric aria de sub curba f, între abscisa x = x0 y x = x4.
Desigur, aproximarea la zona de sub curbă se îmbunătățește mult ca număr n partițiile sunt mai mari. În acest fel, suma converge către zona de sub curbă, atunci când numărul n de partiții tinde spre infinit.
Indice articol
Suma Riemann a funcției f (x) de pe partiție:
P = x0= a, x1, XDouă,..., Xn= b
Definită pe intervalul [a, b], este dată de:
S (P, f) = ∑k = 1n f (tk) (Xk - Xk-1)
Unde Tk este o valoare pe intervalul [xk, Xk-1]. În suma Riemann, se folosesc de obicei intervale regulate de lățime Δx = (b - a) / n, unde a și b sunt valorile minime și maxime ale absciselor, în timp ce n este numărul de subdiviziuni.
În acest caz Riemann suma corectă este:
Sd (f, n) = [f (a + Δx) + f (a + 2Δx) +… + f (a + (n-1) Δx) + f (b)] * Δx
In timp ce Riemann a lăsat suma este exprimat ca:
Dacă (f, n) = [f (a) + f (a + Δx) +… + f (a + (n-1) Δx)] * Δx
În cele din urmă suma Riemann centrală este:
Sc (f, n) = [f (a + Δx / 2) + f (a + 3Δx / 2) +… + f (b- Δx / 2)] * Δx
În funcție de locul în care se află punctul tk pe intervalul [xk, Xk-1] suma Riemann poate supraestima sau subestima valoarea exactă a zonei sub curba funcției y = f (x). Cu alte cuvinte, dreptunghiurile pot ieși din curbă sau pot fi puțin sub ea..
Principala proprietate a sumei Riemann și din care derivă importanța acesteia este că, dacă numărul de subdiviziuni tinde spre infinit, rezultatul sumei converge la integrala definită a funcției:
Calculați valoarea integralei definite dintre a = -2 până la b = +2 a funcției:
f (x) = xDouă
Folosiți o sumă Riemann. Pentru a face acest lucru, găsiți mai întâi suma pentru n partiții regulate ale intervalului [a, b] și apoi luați limita matematică pentru cazul în care numărul de partiții tinde la infinit.
Iată pașii de urmat:
-Mai întâi, definiți intervalul partițiilor ca:
Δx = (b - a) / n.
-Atunci suma Riemann din dreapta corespunzătoare funcției f (x) arată astfel:
[-2 + (4i / n)]Două = 4 - (16 i / n) + (4 / n)Două euDouă
-Și apoi este înlocuit cu atenție în însumare:
-Următorul pas este să separați sumele și să luați cantitățile constante ca factor comun al fiecărei sume. Este necesar să se ia în considerare faptul că indicele este i, deci numerele și termenii cu n sunt considerate constante:
-Fiecare însumare este evaluată, deoarece pentru fiecare dintre ele există expresii adecvate. De exemplu, prima dintre sume dă n:
S (f, n) = 16 - 64 (n + 1) / 2n + 64 (n + 1) (2n + 1) / 6nDouă
-În cele din urmă, avem că integralul pe care vrem să-l calculăm este:
= 16 - (64/2) + (64/3) = 16/3 = 5.333
Cititorul poate verifica dacă acesta este rezultatul exact, care poate fi obținut prin rezolvarea integralei nedeterminate și evaluarea limitelor de integrare prin regula lui Barrow.
Determinați aproximativ zona sub funcție:
f (x) = (1 / √ (2π)) e(-XDouă/Două)
Introduceți x = -1 și x = + 1, folosind o sumă Riemann centrală cu 10 partiții. Comparați cu rezultatul exact și estimați diferența procentuală.
Pasul sau incrementul dintre două valori discrete succesive este:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2
Deci partiția P pe care sunt definite dreptunghiurile arată astfel:
P = -1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1.0
Dar, deoarece ceea ce se dorește este suma centrală, funcția f (x) va fi evaluată la punctele medii ale subintervalelor, adică în set:
T = -0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9.
Suma Riemann (centrală) arată astfel:
S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + ... + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2
Deoarece funcția f este simetrică, este posibil să se reducă suma la doar 5 termeni și rezultatul este înmulțit cu doi:
S = 2 * 0.2 * f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)
S = 2 * 0.2 * 0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266 = 0.683
Funcția dată în acest exemplu nu este alta decât binecunoscutul clopot gaussian (normalizat, cu medie egală cu zero și deviație standard una). Zona de sub curbă din intervalul [-1,1] pentru această funcție este cunoscută a fi 0,6827.
Aceasta înseamnă că soluția aproximativă cu doar 10 termeni se potrivește exact cu trei zecimale. Eroarea procentuală între integral și aproximativ integral este 0,07%.
Nimeni nu a comentat acest articol încă.