Explicația teoremei lui Steiner, aplicații, exerciții

Teorema lui Steiner, cunosc, de asemenea, ca teorema axelor paralele, permite evaluarea momentului de inerție al unui corp extins, în jurul unei axe care este paralelă cu alta care trece prin centrul de masă al obiectului.

A fost descoperit de matematicianul elvețian Jakob Steiner (1796 -1863) și afirmă următoarele: să I_CM momentul de inerție al obiectului față de o axă care trece prin centrul său de masă CM și I_z momentul de inerție față de o altă axă paralelă cu aceasta.

Cunoscând distanța D care separă ambele axe și masa M a corpului în cauză, momentul de inerție față de axa necunoscută este:

Eu_z = Eu_CM + MD^Două

Momentul de inerție indică cât de ușor este pentru un obiect să se rotească în jurul unei anumite axe. Depinde nu numai de masa corpului, ci de modul în care este distribuit. Din acest motiv este, de asemenea, cunoscut sub numele de inerție de rotație, fiind unitățile sale în Sistemul internațional Kg. m^Două.

Teorema arată că momentul de inerție Eu_z este întotdeauna mai mare decât momentul de inerție Eu_CM într-o sumă dată de M.D^Două.

Indice articol

• 1 Aplicații
  • 1.1 Dovada teoremei lui Steiner
• 2 exerciții rezolvate
  • 2.1 - Exercițiu rezolvat 1
  • 2.2 - Exercițiu rezolvat 2
• 3 Referințe

Aplicații

Deoarece un obiect este capabil să se rotească în jurul numeroaselor axe, iar în tabele, în general, este dat doar momentul de inerție cu privire la axa care trece prin centroid, teorema lui Steiner facilitează calculul atunci când este necesar să se rotească corpurile în jurul axelor care nu potriveste asta.

De exemplu, o ușă nu se rotește în mod obișnuit în jurul unei axe care trece prin centrul său de masă, ci în jurul unei axe laterale, în care aderă balamalele..

Cunoscând momentul de inerție, este posibil să se calculeze energia cinetică asociată cu rotația în jurul axei menționate. da K este energia cinetică, Eu momentul de inerție în jurul axei în cauză și ω viteza unghiulară, este satisfăcut că:

K = ½ I.ω^Două

Această ecuație seamănă foarte mult cu formula foarte familiară a energiei cinetice pentru un obiect de masă M deplasându-se cu viteză v:  K = ½ M.v.^Două. Și este momentul de inerție sau inerție de rotație Eu joacă același rol în rotație ca masa M în traducere.

Dovada teoremei lui Steiner

Momentul de inerție al unui obiect extins este definit ca:

I = ∫r^Două dm

Unde dm este o porțiune infinitesimală de masă și r este distanța dintre dm și axa de rotație z. În figura 2 această axă traversează centrul de masă CM, cu toate acestea poate fi oricare.

În jurul altei axe  z ', momentul de inerție este:

Eu_z= ∫ (r ')^Două dm

Acum, conform triunghiului format de vectori D, r Da r ' (vezi figura 2 din dreapta), există o sumă vectorială:

r + r ' = D   → r ' = D - r

Cei trei vectori se află pe planul obiectului care poate fi X y. Originea sistemului de coordonate (0,0) este aleasă în CM pentru a facilita calculele care urmează.

În acest mod, modulul pătrat al vectorului r ' este:

(r ')^Două = (D_X- r_X)^Două +(D_Da - r_Da)^Două =

= D_X^Două + D_Da^Două +r_X^Două + r_Da2 -2D_Xr_X - 2 D_Dar_Da =

= D^Două + r^Două  - 2D_Xr_X - 2 D_Dar_Da

Acum această dezvoltare este substituită integralei momentului de inerție I_z și, de asemenea, se utilizează definiția densității dm = ρ.dV:

Termenul M. D^Două care apare în teorema lui Steiner provine de la prima integrală, a doua este momentul de inerție față de axa care trece prin CM.

Pe de altă parte, a treia și a patra integrală valorează 0, deoarece, prin definiție, constituie poziția CM, care a fost aleasă ca origine a sistemului de coordonate (0,0).

Exerciții rezolvate

-Exercițiu rezolvat 1

Ușa dreptunghiulară din figura 1 are o masă de 23 kg, 1,30 lățime și 2,10 m înălțime. Determinați momentul de inerție al ușii în raport cu axa care trece prin balamale, presupunând că ușa este subțire și uniformă.

Soluţie

Dintr-un tabel cu momente de inerție, pentru o placă dreptunghiulară de masă M și dimensiuni la Da b, momentul de inerție față de axa care trece prin centrul său de masă este: I_CM = (1/12)M(la^Două + b^Două).

Se va presupune o poartă omogenă (o aproximare, deoarece poarta din figură probabil nu este așa). Într-un astfel de caz, centrul de masă trece prin centrul său geometric. În figura 3 a fost trasată o axă care trece prin centrul de masă și este paralelă cu axa care trece prin balamale.

Eu_CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30^Două+2.10^Două) m^Două = 11,7 kg^Două

Aplicarea teoremei lui Steiner pentru axa verde de rotație:

Eu = eu_CM + MD^Două = 11,7 kg^Două + 23 Kg x 0,652 m^Două = 21,4 Kg.

-Exercițiu rezolvat 2

Găsiți momentul de inerție al unei tije subțiri omogene când se rotește în jurul unei axe care trece prin unul dintre capetele sale, a se vedea figura. Este mai mare sau mai mic decât momentul de inerție când se rotește în jurul centrului său? De ce?

Soluţie

Conform tabelului momentelor de inerție, momentul de inerție Eu_CM a unei tije subtiri de aluat M și lungimea L este: Eu_CM = (1/12) ML^Două

Iar teorema lui Steiner afirmă că atunci când este rotită în jurul unei axe care trece printr-un capăt D = L / 2 rămâne:

Eu = eu_CM + MD^Două = (1/12) ML^Două + M (L / 2)^Două = (1/3) ML^Două

Este mai mare, deși nu pur și simplu de două ori, ci de 4 ori mai mult, deoarece cealaltă jumătate a tijei (care nu este umbrită în figură) se rotește descriind o rază mai mare.

Influența distanței până la axa de rotație nu este liniară, ci pătratică. O masă care este de două ori distanța față de alta, va avea un moment de inerție proporțional cu (2D)^Două = 4D^Două.

Referințe

1. Bauer, W. 2011. Fizică pentru inginerie și științe. Volumul 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Universitatea de Stat din Georgia. Mișcare de rotație. Recuperat de la: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorema axei paralele. Recuperat de la: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fundamentele fizicii. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema axei paralele. Recuperat de pe: en.wikipedia.org